Question

（1）观察下列各式：

1

2

=

1

1×2

=

1

1

-

1

2

，

1

6

=

1

2×3

=

1

2

-

1

3

，

1

12

=

1

3×4

=

1

3

-

1

4

，

1

20

=

1

4×5

=

1

4

-

1

5

，

1

30

=

1

5×6

=

1

5

-

1

6

，…
（2）请你猜想出表示（1）中的特点的一般规律，用含x（x表示整数）的等式表示出来

1

x(x+1)

=

1

x

-

1

x+1

．
（3）请利用上述规律计算：（要求写出计算过程）

1

2

+

1

6

+

1

12

+…+

1

(n-1)n

+

1

n(n+1)

（4）请利用上述规律，解方程

1

(x-4)(x-3)

+

1

(x-3)(x-2)

+

1

(x-2)(x-1)

+

1

(x-1)x

+

1

x(x+1)

=

1

x+1

．

Answer 1

分析：（2）观察（1），可得规律：

1

x(x+1)

=

1

x

-

1

x+1

；
（3）由（2）中的规律，可将原式化为

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

，化简即可求得答案；
（4）根据（2）的规律原方程变形为

1

x-4

-

1

x+1

=

1

x+1

，解此方程即可求得答案．

解答：解：（2）由（1）可得：

1

x(x+1)

=

1

x

-

1

x+1

；

（3）

1

2

+

1

6

+

1

12

+…+

1

(n-1)n

+

1

n(n+1)

=

1

1

-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

；

（4）原方程变形为：

1

x-4

-

1

x+1

=

1

x+1

，
两边同时乘以（x-4）（x+1），得
x+1-（x-4）=x-4，
解得x=9．
经检验x=9是原方程的解．

点评：此题考查了分式的加减运算与分式方程的解法．此题难度适中，解题的关键是得到规律：

1

x(x+1)

=

1

x

-

1

x+1

．