题目内容
先阅读短文,再回答短文后面的问题.平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.
下面根据抛物线的定义,我们来求抛物线的方程.
如上图,建立直角坐标系xoy,使x轴经过点F且垂直于直线l,垂足为K,并使原点与线段KF的中点重合.设|KF|=p(p>0),那么焦点F的坐标为(
p |
2 |
p |
2 |
设点M(x,y)是抛物线上任意一点,点M到l的距离为d,由抛物线的定义,抛物线就是满足|MF|=d的点M的轨迹.
∵|MF|=
(x-
|
p |
2 |
(x-
|
p |
2 |
将上式两边平方并化简,得y2=2px(p>0)①
方程①叫做抛物线的标准方程,它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上,坐标是(
p |
2 |
p |
2 |
一条抛物线,由于它在坐标平面内的位置不同,方程也不同.所以抛物线的标准方程还有其它的几种形式:y2=-2px,x2=2py,x2=-2py.这四种抛物线的标准方程,焦点坐标以及准线方程列表如下:
标准方程 | 交点坐标 | 准线方程 | ||||
y2=2px(p>0) | (
|
x=-
| ||||
y2=-2px(p>0) | (-
|
x=
| ||||
x2=2py(p>0) | (0,
|
y=-
| ||||
x2=-2py(p>0) | (0,-
|
y=-
|
(1)①已知抛物线的标准方程是y2=8x,则它的焦点坐标是
②已知抛物线的焦点坐标是F(0,-6),则它的标准方程是
(2)点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程.
(3)直线y=
3 |
分析:(1)根据四种抛物线的标准方程,焦点坐标以及准线方程列表直接求出即可;
(2)由点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1,得出点M到点F的距离与到直线x=-4的距离相等,进而可以求出;
(3)由直线y=
x+b经过抛物线y2=4x的焦点,可求出直线解析式,将y=
x-
与y2=4x联立求出A,B两点的坐标,再利用平面内两点的距离公式求出AB的长度.
(2)由点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1,得出点M到点F的距离与到直线x=-4的距离相等,进而可以求出;
(3)由直线y=
3 |
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解答:解:(1)①∵抛物线的标准方程是y2=8x,
∴y2=2×4x,它的焦点坐标是(
,0),即(2,0),
准线方程是:x=-
=-2;
②∵抛物线的焦点坐标是F(0,-6),
∴-
=-6,p=12,
∴x 2=-2py,
∴x2=-24y;
(2)∵M(x,y)到点F(4,0)的距离比M到直线x=-5的距离小1,
∴点M到点F的距离与到直线x=-4的距离相等,
所以点M的轨迹是以x=-4为准线,以F(4,0)为焦点的抛物线.
显然其顶点是O(0,0),焦参数(焦点到直线的距离)p=4-(-4)=8,
所以点M的轨迹方程是抛物线方程:y2=16x;
(3)∵抛物线y2=4x的焦点是(1,0),
∴直线y=
x+b的解析式为:y=
x-
,
将y=
x-
与y2=4x联立求出x 1=3'x 2=
,y 1=2
,y 2=-
,
∴两函数的交点A,B,为(3,2
),(
,-
),
∴线段AB的长为:AB=
=
.
∴y2=2×4x,它的焦点坐标是(
p |
2 |
准线方程是:x=-
p |
2 |
②∵抛物线的焦点坐标是F(0,-6),
∴-
p |
2 |
∴x 2=-2py,
∴x2=-24y;
(2)∵M(x,y)到点F(4,0)的距离比M到直线x=-5的距离小1,
∴点M到点F的距离与到直线x=-4的距离相等,
所以点M的轨迹是以x=-4为准线,以F(4,0)为焦点的抛物线.
显然其顶点是O(0,0),焦参数(焦点到直线的距离)p=4-(-4)=8,
所以点M的轨迹方程是抛物线方程:y2=16x;
(3)∵抛物线y2=4x的焦点是(1,0),
∴直线y=
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3 |
3 |
将y=
3 |
3 |
1 |
3 |
3 |
2
| ||
3 |
∴两函数的交点A,B,为(3,2
3 |
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3 |
2
| ||
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∴线段AB的长为:AB=
(3-
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点评:此题主要考查了四种抛物线的标准方程,焦点坐标以及准线方程的应用,以及平面内两点之间距离求法等知识,题目综合性较强.
练习册系列答案
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先阅读短文,再回答短文后面的问题.
平面内与一个定点F和一条定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线,点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.
下面根据抛物线的定义,我们来求抛物线的方程.
如上图,建立直角坐标系xoy,使x轴经过点F且垂直于直线l,垂足为K,并使原点与线段KF的中点重合.设|KF|=p(p>0),那么焦点F的坐标为(,0),准线l的方程为x=-.
设点M(x,y)是抛物线上任意一点,点M到l的距离为d,由抛物线的定义,抛物线就是满足|MF|=d的点M的轨迹.
∵|MF|=,d=|x+|∴=|x+|
将上式两边平方并化简,得y2=2px(p>0)①
方程①叫做抛物线的标准方程,它表示的抛物线的焦点在x轴的正半轴上,坐标是(,0),它的准线方程是x=-.
一条抛物线,由于它在坐标平面内的位置不同,方程也不同.所以抛物线的标准方程还有其它的几种形式:y2=-2px,x2=2py,x2=-2py.这四种抛物线的标准方程,焦点坐标以及准线方程列表如下:
标准方程 | 交点坐标 | 准线方程 |
y2=2px(p>0) | () | x=- |
y2=-2px(p>0) | (-) | x= |
x2=2py(p>0) | (0,) | y=- |
x2=-2py(p>0) | (0,-) | y=- |
(1)①已知抛物线的标准方程是y2=8x,则它的焦点坐标是______,准线方程是______
②已知抛物线的焦点坐标是F(0,-6),则它的标准方程是______.
(2)点M与点F(4,0)的距离比它到直线l:x+5=0的距离小1,求点M的轨迹方程.
(3)直线经过抛物线y2=4x的焦点,与抛物线相交于两点A、B,求线段AB的长.