题目内容

如图，在直角三角形ACB中，∠C=90°，已知AC=20cm，BC=15cm．
（1）求AB边的中线CM的长；
（2）在CM上取一点P（点P与点C、点M不重合），试求△APB的面积y（平方厘米）与CP的长x（厘米）之间的函数关系式；
（3）在直角坐标系中，画出函数的图象．

解：（1）∵∠C=90°，AC=20cm，BC=15cm，∴AB= $\text{[math]}$ =25，
在直角三角形中，根据斜边的中线长是斜边长的一半的性质，
∴CM= $\text{[math]}$ AB= $\text{[math]}$ （cm）；

（2）∵CP=x，CM=AM，∴∠CAB=∠ACM，
∵sin∠CAB= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，∴sin∠ACM= $\text{[math]}$
∴S_△AMC= $\text{[math]}$ ×20× $\text{[math]}$ ×sin∠ACM=75，
S_△ACP= $\text{[math]}$ ×20×x× $\text{[math]}$ =6x，∵△APB的面积y，
∴ $\text{[math]}$ y=S_△AMC-S_△ACP=75-6x，
∴y=150-12x（0＜x＜ $\text{[math]}$ ）；

（3）函数关系式为：y=150-12x（0＜x＜ $\text{[math]}$ ），图象为：

分析：（1）在直角三角形中，已知两直角边，根据勾股定理即可求斜边的长，根据斜边的中线长是斜边长的一半的性质即可以解题；
（2）根据S_△AMP=S_△ACM-S_△APC即可求出 $\text{[math]}$ y，从而可得出答案；
（3）根据函数关系式即可画出图象；
点评：本题考查了一次函数及勾股定理，难度较大，关键是掌握在直角三角形中，斜边的中线长是斜边长的一半．