Question

【题目】如图1，以为直径作半圆，点在半圆上，连结且．连结是边上的高，过点作交的延长线于点，交于点．

求证：

当为的中点时，求的值．

如图2，取的中点，连结.若在点运动过程中，当四边形的其中一边长是的倍时，求所有满足条件的长．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析；(2)；(3) OG的长为或

【解析】

(1)根据圆周角定理得到，再利用等边对等角以及等角的余角相等即可证明；

(2)根据中垂线的判定和性质以及等角的余角相等可求得，利用特殊角的三角函数值即可求解；

(3) 分，，三种情况讨论，设参数，利用勾股定理构建方程即可求解．

(1)证明：

为直径，

，

，

，

，

，

，

；

(2)，为中点，

为中垂线，

，

，

，

，

，

；

(3)为中点，

，，

四边形，除外还有三边，

故分类讨论：设，

①当时，则，

在中，，

∴，即，

∵，

∴，

在中，，即，

在中，，即，

∴，

整理得，

解得：(舍去)，

∴；

②当时，则，

在中，，

，

即，

解得，（舍去），

即，

，

∵，

即，

，

∴；

③当时，则，

由①得：，

在中，，即，

在中，，即，

联立：，

解得：，

∴，四边形不存在；

综上，OG的长为或．