Question

如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，E、F分别是AB、DC边的中点，AB=4，∠B=60°，
（1）求点E到BC边的距离；
（2）点P为线段EF上的一个动点，过P作PM⊥BC，垂足为M，过点M作MN∥AB交线段AD于点N，连接PN、探究：当点P在线段EF上运动时，△PMN的面积是否发生变化？若不变，请求出△PMN的面积；若变化，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）过E作EG⊥BC，垂足为G，由AB=4，E为AB的中点，得BE=2，又∠B=60°，解Rt△BEG可求EG，即为点E到BC边的距离；
（2）过点P作PH⊥MN，垂足为H，根据平行关系，垂直关系推出∠PMH=30°，解Rt△PMH可求PH，再由面积公式求△PMN的面积．

解答：解：（1）过E作EG⊥BC，垂足为G，由AB=4，E为AB的中点，得BE=2（1分）
Rt△EBG中，sin∠B=

EG

EB

，EG=EG•sin∠B=2sin∠60°=

3

；（2分）

（2）不变（1分）
解法（一）：在梯形ABCD中，由AD∥BC，MN∥AB，得MN=AB=4（1分）
过点P作PH⊥MN，垂足为H（1分）
由MN∥AB得∠NMC=∠B=60°所以∠PMH=30°（1分）
由E、F是AB、DC边的中点得EF∥BC，由EG⊥BC，PM⊥BC，得EG∥PM
∴PM=EG=

3

（1分）
在Rt△PMH中，sin∠PMH=

PH

PM

，所以PH=PM•sin30°=

3

2

（2分）
∴S△PMN=

1

2

PH•MN=

1

2

×4×

3

2

=

3

．（2分）
解法（二）：延长MP交AD于点H，只要求出NH的长即可，评分标准可参考解法一．

点评：本题考查了解梯形问题的转化方法，一般是将梯形问题转化为平行四边形、矩形、直角三角形来解题．