题目内容

如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，D、E分别是边AB、AC上的两个动点（D不与A、B重合），且保持DE∥BC，以ED为边，在点A的异侧作正方形DEFG．
（1）试求△ABC的面积；
（2）当边FG与BC重合时，求正方形DEFG的边长；
（3）设AD=x，当△BDG是等腰三角形时，求出AD的长．

解：（1）过A作AH⊥BC于H，
∵AB=AC=5，BC=6，
∴BH= $\text{[math]}$ BC=3，
∴AH= $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ =4，
∴S_△ABC= $\text{[math]}$ BC•AH= $\text{[math]}$ ×6×4=12．

（2）令此时正方形的边长为a，
∵DE∥BC，
∴ $\text{[math]}$ ，
∴a= $\text{[math]}$ ．

（3）当AD=x时，由△ADE∽△ABC得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
即 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得DE= $\text{[math]}$ x，
当BD=DG时，5-x= $\text{[math]}$ x，x= $\text{[math]}$ ，
当BD=BG时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得x= $\text{[math]}$ ，
当BG=DG时， $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，解得x= $\text{[math]}$ ，
∴当△BDG是等腰三角形时，AD= $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ 或 $\text{[math]}$ ．
分析：（1）作底边上的高，利用勾股定理求出高就可以求出面积．
（2）根据DE∥BC，得到△ADE∽△ABC，再根据相似三角形对应高的比等于相似比即可求出边DE的长度．
（3）根据△ADE∽△ABC得 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，求出AD的长．
点评：本题考查了正方形、等腰三角形的性质，相似比等相关知识．综合性较强，解题时要仔细．