Question

如图1，点A是线段BC上一点，△ABD和△ACE都是等边三角形．

（1）连结BE，CD，求证：BE=CD；

（2）如图2，将△ABD绕点A顺时针旋转得到△AB′D′．

①当旋转角为　    　度时，边AD′落在AE上；

②在①的条件下，延长DD’交CE于点P，连接BD′，CD′．当线段AB、AC满足什么数量关系时，△BDD′与△CPD′全等？并给予证明．

 

Answer 1

【答案】

解：（1）证明：∵△ABD和△ACE都是等边三角形， ∴AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°。

∴∠BAD+∠DAE=∠CAE+∠DAE，即∠BAE=∠DAC。

在△BAE和△DAC中，∵AB=AD，∠BAE=∠DAC，AE=AC，

∴△BAE≌△DAC（SAS）。∴BE=CD。

（2）① 60。

②当AC=2AB时，△BDD′与△CPD′全等。理由如下：

由旋转可知，AB′与AD重合，∴AB=BD=DD′=AD′。

∴四边形ABDD′是菱形。

∴∠ABD′=∠DBD′=∠ABD=×60°=30°，DP∥BC。

∵△ACE是等边三角形，∴AC=AE，∠ACE=60°。

∵AC=2AB，∴AE=2AD′。

∴∠PCD′=∠ACD′=∠ACE=×60°=30°。

又∵DP∥BC，∴∠ABD′=∠DBD′=∠BD′D=∠ACD′=∠PCD′=∠PD′C=30°。

在△BDD′与△CPD′中，∵∠DBD′=∠PCD′，BD′=CD′，∠BD′D=∠PD′C，

∴△BDD′≌△CPD′（ASA）。

【解析】

试题分析：（1）根据等边三角形的性质可得AB=AD，AE=AC，∠BAD=∠CAE=60°，然后求出∠BAE=∠DAC，再利用“边角边”证明△BAE和△DAC全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；

（2）①求出∠DAE，即可得到旋转角度数：

∵∠BAD=∠CAE=60°，∴∠DAE=180°﹣60°×2=60°。

∵边AD′落在AE上，∴旋转角=∠DAE=60°。

②当AC=2AB时，△BDD′与△CPD′全等．根据旋转的性质可得AB=BD=DD′=AD′，然后得到四边形

ABDD′是菱形，根据菱形的对角线平分一组对角可得∠ABD′=∠DBD′=30°，菱形的对边平行可得DP∥BC，根据等边三角形的性质求出AC=AE，∠ACE=60°，然后根据等腰三角形三线合一的性质求出∠PCD′=∠ACD′=30°，从而得到∠ABD′=∠DBD′=∠BD′D=∠ACD′=∠PD′C=30°，然后利用“角边角”证明△BDD′与△CPD′全等。