题目内容
（2012•高新区一模）已知二次函数的图象经过A（2，0）、C（0，-12）两点，且对称轴为直线x=4，设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）如图1，在直线y=-2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒
个单位长度的速度由点P向点O运动，过点M作直线MN∥x轴，交PB于点N．将△PMN沿直线MN对折，得到△P1MN．在动点M的运动过程中，设△P1MN与梯形OMNB的重叠部分的面积为S，运动时间为t秒．问S存在最大值吗？若存在，求出这个最大值；若不存在，请说明理由．
（1）求二次函数的解析式及顶点P的坐标；
（2）如图1，在直线y=-2x上是否存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）如图2，点M是线段OP上的一个动点（O、P两点除外），以每秒
| 2 |
分析：（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，待定系数法求出a、b和c的值，即可求出抛物线的解析式；
（2）存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形，先求出B点的坐标，设直线BP的解析式为y=kx+m，根据题意求出直线的解析式，设D（x，-2x），则BD2=（-2x）2+（6-x）2，若四边形OPBD为等腰梯形，则（-2x）2+（6-x）2=32，解出x的值，D点的坐标即可求出；
（3）当0＜t≤2时，用t表示出PH，MH，HN，利用二次函数的性质求出此区间函数的最值；当2＜t＜4时，P1G=2t-4，P1H=t，根据三角形相似，求出S△P1EF=3t2-12t+12，列出S和t的关系式，求出S最大值．
（2）存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形，先求出B点的坐标，设直线BP的解析式为y=kx+m，根据题意求出直线的解析式，设D（x，-2x），则BD2=（-2x）2+（6-x）2，若四边形OPBD为等腰梯形，则（-2x）2+（6-x）2=32，解出x的值，D点的坐标即可求出；
（3）当0＜t≤2时，用t表示出PH，MH，HN，利用二次函数的性质求出此区间函数的最值；当2＜t＜4时，P1G=2t-4，P1H=t，根据三角形相似，求出S△P1EF=3t2-12t+12，列出S和t的关系式，求出S最大值．
解答：
解：（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，
由题意得
，
解得
，
故抛物线的解析式为y=-x2+8x-12，点P的坐标为（4，4）；
（2）存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形，理由如下：
当y=0时，x2-8x+12=0，
则x1=2，x2=6，
则点B的坐标为（6，0），
设直线BP的解析式为y=kx+m，
则
，
解得
，
则直线BP的解析式为y=-2x+12，
则直线OD∥BP，
∵顶点坐标为P（4，4），
∴OP=4
，
设D（x，-2x），则BD2=（-2x）2+（6-x）2，
当BD=OP时，（-2x）2+（6-x）2=32，
解得x1=
，x2=2，
当x2=2时，OD=BP=2
，四边形OPBD是平行四边形，舍去，
当x=
时四边形OPBD为等腰梯形，
故当D（
，-
）时，四边形OPBD为等腰梯形；
（3）①当0＜t≤2时，
∵运动速度为每秒
个长度单位，运动时间为t秒，则MP=
t，
∴PH=t，MH=t，HN=
t，
∴MN=
t，
∴S=
t•t•
=
t2，
当t=2时，S有最大值=3，
②当2＜t＜4时，P1G=2t-4，P1H=t，
∵MN∥OB，
∴△P1EF∽△P1MN，
∴
=（
）2，
∴
=（
）2，
∴S△P1EF=3t2-12t+12
∴S=
t2-（3t2-12t+12）=-
（t-
）2+4，
当t=
时，S有最大值=4，
因为4＞3，
故S存在最大值，S的最大值为4．
解：（1）设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c，由题意得
|
解得
|
故抛物线的解析式为y=-x2+8x-12，点P的坐标为（4，4）；
（2）存在点D，使四边形OPBD为等腰梯形，理由如下：
当y=0时，x2-8x+12=0，
则x1=2，x2=6，
则点B的坐标为（6，0），
设直线BP的解析式为y=kx+m，
则
|
解得
|
则直线BP的解析式为y=-2x+12，
则直线OD∥BP，
∵顶点坐标为P（4，4），
∴OP=4
| 2 |
设D（x，-2x），则BD2=（-2x）2+（6-x）2，
当BD=OP时，（-2x）2+（6-x）2=32，
解得x1=
| 2 |
| 5 |
当x2=2时，OD=BP=2
| 5 |
当x=| 2 |
| 5 |
故当D（
| 2 |
| 5 |
| 4 |
| 5 |
（3）①当0＜t≤2时，
∵运动速度为每秒
| 2 |
| 2 |
∴PH=t，MH=t，HN=
| 1 |
| 2 |
∴MN=
| 3 |
| 2 |
∴S=
| 3 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 3 |
| 4 |
当t=2时，S有最大值=3，
②当2＜t＜4时，P1G=2t-4，P1H=t，
∵MN∥OB，
∴△P1EF∽△P1MN，
∴
| S△P1EF |
| S△P1MN |
| P1G |
| P1H |
∴
| S△P1EF | ||
|
| 2t-4 |
| t |
∴S△P1EF=3t2-12t+12
∴S=
| 3 |
| 4 |
| 9 |
| 4 |
| 8 |
| 3 |
当t=
| 8 |
| 3 |
因为4＞3，
故S存在最大值，S的最大值为4．
点评：本题主要考查二次函数的综合题的知识点，本题涉及的知识点有抛物线解析式的求法，抛物线顶点坐标及对称轴的求法，第三问需要进行分类讨论，此题难度较大．
练习册系列答案
相关题目
（2012•高新区一模）一个材质均匀的正方体的六个面上分别标有字母A、B、C，其展开图如图所示，随机抛掷此正方体，A面朝上的概率是