Question

给出新定义：若一条直线与一条抛物线只有一个公共点，且这条直线与这条抛物线的对称轴不平行，就称直线与抛物线相切，这条直线是抛物线的切线．有下列命题：
①直线y=0是抛物线y=-2x²的切线； 
②直线x=-2与抛物线y=-2x²相切于点（-2，8）；
③若直线y=-2x+b与抛物线y=-2x²相切，则相切于点（

1

2

，-

1

2

）；
④若直线y=kx+2与抛物线y=-2x²相切，则实数k=4．
其中正确命题的个数是（　　）

• A、1个
• B、2个
• C、3个
• D、4个

Answer 1

考点：二次函数的性质

专题：新定义

分析：根据二次函数的性质与根的判别式，结合抛物线的切线的新定义对各小题进行逐一分析即可．

解答：解：①∵直线y=0与抛物线y=-2x²只有一个公共点即顶点，抛物线y=-2x²的对称轴是y轴，与直线y=0互相垂直，即直线y=0与这条抛物线的对称轴不平行，∴直线y=0是抛物线y=-2x²的切线，故本小题正确；
②∵抛物线y=-2x²的对称轴是y轴即直线x=0，与直线x=-2平行，∴直线x=-2不是抛物线y=-2x² 的切线，故本小题错误；
③若直线y=-2x+b与抛物线y=-2x²相切，则2x²-2x+b=0，∴△=（-2）²-4×2b=4-8b=0，解得b=

1

2

．把b=

1

2

代入2x²-2x+b=0得x=

1

2

，把x=

1

2

代入抛物线解析式可知y=-

1

2

，∴若直线y=-2x+b与抛物线y=-2x²相切，则相切于点（

1

2

，-

1

2

），故本小题正确；
④若直线y=kx+2与抛物线y=-2x²相切，则-2x²=kx+2，即2x²+kx+2=0，△=k²-16=0，解得k=±4，故本小题错误．
故选B．

点评：本题考查了二次函数的性质及根的判别式，理解新定义、熟知二次函数的性质是解答此题的关键．