题目内容

11、对于一元二次方程ax2+bx+c=O（a≠0），下列说法：
①若a+c=0，方程ax2+bx+c=O必有实数根；
②若b2+4ac＜0，则方程ax2+bx+c=O一定有实数根；
③若a-b+c=0，则方程ax2+bx+c=O一定有两个不等实数根；
④若方程ax2+bx+c=O有两个实数根，则方程cx2+bx+a=0一定有两个实数根．
其中正确的是（　　）
分析：①由a+c=0得：a=-c，所以b2-4ac=b2+4c2≥0，故方程有实数根；
③由a-b+c=0得：b=a+c，所以b2-4ac=（a+c）2-4ac=（a-c）2≥0，故方程有实数根，但不一定有两个实数根．
④若方程ax2+bx+c=O有两个实数根，但c可能等于0，当c=0时，方程cx2+bx+a=0会变为一元一次方程，此时只有一个实数根．
解答：解：①∵a+c=0，
∴a=-c，
∴b2-4ac=b2+4c2≥0，
故方程有实数根；故①正确．
③∵a-b+c=0，
∴b=a+c，
∴b2-4ac
=（a+c）2-4ac
=（a-c）2≥0，
故方程有实数根，但不一定有两个实数根．
故③错误．
④若方程ax2+bx+c=O有两个实数根，
但c可能等于0，当c=0时，
方程cx2+bx+a=0会变为一元一次方程，
此时只有一个实数根．
故④错误．
故选A．
点评：本题考查了一元二次方程根的判别式的应用，此考点一直是中考中的一个经久不衰的老考点．
练习册系列答案
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有一根为1的一元二次方程

对于关于x的一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，如果a＋b＋c＝0，那么它的两个根分别为x1＝1，x2＝．说明如下：

由于a＋b＋c＝0，则c＝－a－b

将c＝－a－b代入原方程，得ax2＋bx－a－b＝0．

即a(x2－1)＋b(x－1)＝0，所以(x－1)(ax＋a＋b)＝0

解得x1＝1，x2＝．

请利用上面推导出来的结论，快速求解下列方程：

(1)3x2－5x＋2＝0，x1＝________，x2＝________；

(2)7x2－4x－3＝0，x1＝________，x2＝________；

(3)13x2＋7x－20＝0，x1＝________，x2＝________；

(4)x2－(＋1)x＋＝0，x1＝________，x2＝________；

(5)2004x2－2003x－1＝0，x1＝________，x2＝________；

(6)(b－c)x2＋(c－a)x＋(a－b)＝0(b≠c)，x1＝________，x2＝________；

(7)请你写出3个一元二次方程，使它们都有一个根是1．

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　　由于a＋b＋c＝0，则c＝－a－b

　　将c＝－a－b代入原方程，得ax2＋bx－a－b＝0．

　　即a(x2－1)＋b(x－1)＝0，所以(x－1)(ax＋a＋b)＝0

　　解得x1＝1，x2＝．

请利用上面推导出来的结论，快速求解下列方程：

(1)3x2－5x＋2＝0，　　　　　　　(2)7x2－4x－3＝0，

x1＝________，x2＝________；　　x1＝________，x2＝________；

(3)13x2＋7x－20＝0，　　　　　　(4)x2－(＋1)x＋＝0，

x1＝________，x2＝________；　　x1＝________，x2＝________；

(5)2004x2－2003x2－1＝0，x1＝________；x2＝________；

(6)(b－c)x2＋(c－a)x＋(a－b)＝0(b≠c)，

x1＝________，x2＝________．

(7)请你写出3个一元二次方程，使它们都有一个根是1．

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