Question

【题目】如图，直线y=﹣ x+4与x轴、y轴分别交于点A、B，点C从点B出发，以每秒5个单位长度的速度向点A匀速运动；同时点D从点O出发，以每秒4个单位长度的速度向点B匀速运动，到达终点后运动立即停止．连接CD，取CD的中点E，过点E作EF⊥CD，与折线DO﹣OA﹣AC交于点F，设运动时间为t秒．

（1）点C的坐标为（用含t的代数式表示）；
（2）求证：点E到x轴的距离为定值；
（3）连接DF、CF，当△CDF是以CD为斜边的等腰直角三角形时，求CD的长．

Answer 1

【答案】
（1）（3t，4﹣4t）
（2）

解：证明：∵点D从点O出发，以每秒4个单位长度的速度向点B匀速运动，

∴OD=4t，

∴D（0，4t）．

∵点E为线段CD的中点，

∴E（ ， ），既（ ，2），

∴点E到x轴的距离为定值

（3）

解：按点F的位置不同来考虑．

①当点F在AC上时，如图2所示．

∵DF⊥AB，∠AOB=90°，

∴△BDF∽△BAO，

∴ ，

∴DF=CF= （1﹣t），BF= （1﹣t）．

∵BF=BC+CF，

∴ （1﹣t）=5t+ （1﹣t），

∴t= ．

此时DF= ×（1﹣ ）= ，CD= DF= ；

②当点F在OA上时，如图3所示，显然不存在；

③当点F在OD上时，如图4所示．

∵C（3t，4﹣4t），D（0，4t），∠CFD=90°，

∴F（0，4﹣4t），

∴DF=4t﹣（4﹣4t）=8t﹣4，CF=3t．

∵△CDF为等腰直角三角形，

∴DF=CF，即8t﹣4=3t，

解得：t= ．

此时CF=3× = ，CD= CF= ．

综上可知：当△CDF是以CD为斜边的等腰直角三角形时，CD的长为 或 ．

【解析】解：（1）过点C作CM⊥x轴于点M，如图1所示．
当x=0时，y=4，
∴B（0，4），OB=4；
当y=0时，x=3，
∴A（3，0），OA=3．
∴AB= =5．
∵CM⊥x轴，BO⊥x轴，
∴ ，
∴ ，
∵BC=5t，AB=5，OA=3，
∴OM= BC=3t．
当x=3t时，y=4﹣4t，
∴C（3t，4﹣4t）．
所以答案是：（3t，4﹣4t）．

【考点精析】根据题目的已知条件，利用一次函数的图象和性质的相关知识可以得到问题的答案，需要掌握一次函数是直线，图像经过仨象限；正比例函数更简单,经过原点一直线；两个系数k与b,作用之大莫小看，k是斜率定夹角,b与Y轴来相见,k为正来右上斜,x增减y增减；k为负来左下展,变化规律正相反；k的绝对值越大,线离横轴就越远．