Question

（1998•黄冈）已知关于x的方程k²x²+（2k-1）x+1=0有两个不相等的实数根x₁、x₂．
（1）求k的取值范围；
（2）当k为何值时，x₁与x₂互为倒数．
解：（1）依题意，有△＞0，即（2k-1）²-4k²＞0．解得k＜

1

4

．∴k的取值范围是k＜

1

4

．
（2）依题意，得

x1•x2= 1 k2 x1•x2=1

∴当k=1或k=-1时，x₁与x₂互为倒数．
上面解答有无错误？若有，指出错误之处，并直接写出正确答案．

Answer 1

分析：（1）先根据有两个不相等的实数根x₁、x₂，得出（2k-1）²-4k²＞0，求出k的取值范围，再根据k≠0，即可得出答案．
（2）先根据x₁与x₂互为倒数得出

x1•x2= 1 k2 x1•x2=1

，求出k的值，再根据k＜

1

4

，即可得出答案．

解答：解：（1）错误：
根据题意得：，
有△＞0，即（2k-1）²-4k²＞0．
解得k＜

1

4

，
∵k≠0，
∴k的取值范围是k＜

1

4

且k≠0．

（2）依题意，得

x1•x2= 1 k2 x1•x2=1

解得：k=1或k=-1，
∵k＜

1

4

，
∴k=-1时，x₁与x₂互为倒数．

点评：此题考查了一元二次方程根的判别式、根与系数的关系，一元二次方程根的情况与判别式△的关系：△＞0?方程有两个不相等的实数根；△=0?方程有两个相等的实数根；△＜0?方程没有实数根．