题目内容

已知一组数据x₁，x₂，…，x_n的方差是a，则数据x₁-4，x₂-4，…，x_n-4的方差是________；数据 3x₁，3x₂，…，3x_n的方差是________．

a 9a
分析：首先设原数据的平均数为 $\text{[math]}$ ，则新数据的平均数为 $\text{[math]}$ -4和3 $\text{[math]}$ ，然后利用方差的公式计算即可得到答案．
解答：由题意知，原数据的平均数为 $\text{[math]}$ ，新数据的每一个数都减去了4，则平均数变为 $\text{[math]}$ -4，
∵S₁²= $\text{[math]}$ [（x₁- $\text{[math]}$ ）²+（x₂- $\text{[math]}$ ）²+…+（x_n- $\text{[math]}$ ）²]=a，
∴S₂²= $\text{[math]}$ [（x₁-4- $\text{[math]}$ -4）²+（x₂-4- $\text{[math]}$ -4）²+…+（x_n-4- $\text{[math]}$ -4）²]
= $\text{[math]}$ [（x₁- $\text{[math]}$ ）²+（x₂- $\text{[math]}$ ）²+…+（x_n- $\text{[math]}$ ）²]=a，
所以方差不变．
原数据的平均数为 $\text{[math]}$ ，新数据的每一个数都乘以了3，则平均数变为3 $\text{[math]}$ ，
∵S₁²= $\text{[math]}$ [（x₁- $\text{[math]}$ ）²+（x₂- $\text{[math]}$ ）²+…+（x_n- $\text{[math]}$ ）²]=a，
∴S₂²= $\text{[math]}$ [（3x₁-3 $\text{[math]}$ ）²+（3x₂-3 $\text{[math]}$ ）²+…+（3x_n-3 $\text{[math]}$ ）²]
=9× $\text{[math]}$ [（x₁- $\text{[math]}$ ）²+（x₂- $\text{[math]}$ ）²+…+（x_n- $\text{[math]}$ ）²]
=9a，
故答案为：a，9a．
点评：本题考查了方差的定义．当数据都加上一个数（或减去一个数）时，平均数也加或减这个数，方差不变，即数据的波动情况不变；当数据都乘以一个数（或除以一个数）时，平均数也乘以或除以这个数，方差变为这个数的平方倍．