Question

如图，直线l₁的函数表达式为y₁=-3x+3，且l₁与x轴交于点D，直线l₂：y₂=kx+b经过点A，B，与直线l₁交于点C．
（1）求直线l₂的函数表达式，并利用图象回答，何时y₁＞y₂；
（2）求△ADC的面积；
（3）在直角坐标系中有点E，和A，C，D构成平行四边形，请直接写出E点的坐标．

Answer 1

考点：一次函数综合题

专题：

分析：（1）将A、B两点的坐标代入直线l₂：y₂=kx+b，运用待定系数法求出直线l₂的函数表达式，观察图象可知，在C点的左侧，直线l₁落在直线l₂的上方，即当x的值为小于点C横坐标的值时，y₁＞y₂，将直线l₁与直线l₂的解析式联立组成方程组，求出方程组的解，即可得出点C的坐标；
（2）先由直线l₁：y₁=-3x+3与x轴交于点D，得到点D的坐标，再根据三角形的面积公式即可求解；
（3）分三种情况进行讨论：①以AC为对角线；②以AD为对角线；③以CD为对角线；根据平行四边形的性质即可确定E点的坐标．

解答：解：（1）∵点A（4，0）、B（3，-

3

2

）在直线l₂：y₂=kx+b上，
∴

4k+b=0 3k+b=- 3 2

，
解之得：

k= 3 2 b=-6

，
∴直线l₂的解析式为y₂=

3

2

x-6；
由

y=-3x+3 y= 3 2 x-6

，解得

x=2 y=-3

，
∴点C的坐标为（2，-3）．
由图象可知，当x＜2时，y₁＞y₂；

（2）∵点D是直线l₁：y=-3x+3与x轴的交点，
∴y=0时，0=-3x+3，
解得x=1，
∴D（1，0），
∵A（4，0），
∴AD=4-1=3，
∴△ADC的面积=

1

2

×3×3=

9

2

；

（3）分三种情况：
①以AC为对角线时，
∵四边形ADCE是平行四边形，
∴CE∥DA，CE=DA=3，
∴将点C（2，-3）向右平移3个单位得到点E，即E₁（5，-3）；
②以AD为对角线时，
∵四边形ACDE是平行四边形，
∴CE与AD互相平分，即CE与AD的中点重合，则E₂（3，3）；
③以CD为对角线时，
∵四边形ADEC是平行四边形，
∴CE∥AD，CE=AD=3，
∴将点C（2，-3）向左平移3个单位得到点E，即E₃（-1，-3）；
综上所述，符合条件的E点的坐标为E₁（5，-3）、E₂（3，3）、E₃（-1，-3）．

点评：本题是一次函数的综合题，考查了运用待定系数法求一次函数的解析式，一次函数与一元一次不等式的关系，两直线交点坐标的求法，三角形的面积，平行四边形的性质等知识，综合性较强，难度不大，运用数形结合、分类讨论及方程思想是解题的关键．