题目内容
如图，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，直角梯形OABC的边OA、OC分别在x轴、y轴上，OC=4，∠OAB=45°，且直角梯形OABC的面积为16．
（1）求点B的坐标；
（2）点P从O出发，以2个单位/秒的速度沿x轴正半轴匀速运动；点Q从点A同时出发，以
个单位/秒的速度沿线段AB向终点B匀速运动．当点Q到达终点时，点P也停止运动．过点Q作QH⊥x轴于点H，连接PQ，设点P运动的时间为t秒，△PQH的面积为S，求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围；
（3）在（2）的条件下，点M为y轴上一点，点N为射线AB上一点，在点P、Q运动过程中，若四边形MPQN为菱形，求t的值．
（1）求点B的坐标；
（2）点P从O出发，以2个单位/秒的速度沿x轴正半轴匀速运动；点Q从点A同时出发，以
| 2 |
（3）在（2）的条件下，点M为y轴上一点，点N为射线AB上一点，在点P、Q运动过程中，若四边形MPQN为菱形，求t的值．
分析：（1）作BD⊥OA于D，可以得出四边形OCBD，由条件得△ABD为等腰直角三角形，设CB=a，根据梯形的面积公式建立方程求出其解就可以求出结论；
（2）如图2，由条件可以得出OP=2t，AQ=
t，可以求出QH=t，就可以表示出PH的值，根据三角形的面积公式就可以求出S与t的函数关系式，用AB的长除以
就可以求出t的取值范围；
（3）根据菱形的性质，分两种情况，从0＜t＜2和2＜t＜4时，进行计算求出t的值，再检验是否符合题意就可以求出结论．
（2）如图2，由条件可以得出OP=2t，AQ=
| 2 |
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（3）根据菱形的性质，分两种情况，从0＜t＜2和2＜t＜4时，进行计算求出t的值，再检验是否符合题意就可以求出结论．
解答：解：（1）如图1，作BD⊥OA于D，
∴∠BDO=∠BDA=90°，
∵四边形OABC直角梯形，
∴BC∥OA，∠BCO=∠COD=90°，
∴四边形BCOD是矩形，
∴BC=OD，OC=BD，
∵∠OAB=45°，
∴tan∠OAB=
=1，sin∠OAB=
∴AD=BD．
∵OC=4，
∴BD=AD=4．
∴AB=4
．
设CB=x，则OD=x，OA=x+4，
∴
=16，
解得：x=2．
∴BC=2，
∴OA=6．
∵OC=4，
∴C（0，4），
∴B（2，4）；
（2）如图2，0＜t＜2时，
OP=2t，AQ=
t，
∵QH⊥OA，
∴QH=AH=t．
∴PH=6-3t，
∴S=
=
；
如图3，当2＜t≤3时，
OP=2t，AQ=
t，
∴QH=AH=t，PA=6-2t，
∴HP=t-（6-2t）=3t-6，
∴S=
=
；
如图4，当3＜t≤4时，
OP=2t，AQ=
t，
∴QH=AH=t，PA=2t-6，
∴HP=t+2t-6=3t-6
∴S=
=
；
综上所述：
∴S=
；
（3）如图5，当0＜t＜2时，OP=OM=2t，PH=6-3t，QH=t，
∵四边形MPQN是菱形，
∴MP=QP，
4t2+4t2=t2+（6-3t）2，
解得：t1=9-3
，t2=9+3
（舍去）；
如图6，当2＜t＜4时，OP=OM=2t，PH=3t-6，QH=t，
∵四边形MPQN是菱形，
∴MP=QP，
4t2+4t2=t2+（3t-6）2，
解得：t1=9-3
（舍去），t2=9+3
（舍去）；
∴t=9-3
时，四边形MPQN为菱形．
∴∠BDO=∠BDA=90°，
∵四边形OABC直角梯形，
∴BC∥OA，∠BCO=∠COD=90°，
∴四边形BCOD是矩形，
∴BC=OD，OC=BD，
∵∠OAB=45°，
∴tan∠OAB=
| BD |
| AD |
| ||
| 2 |
∴AD=BD．
∵OC=4，
∴BD=AD=4．
∴AB=4
| 2 |
设CB=x，则OD=x，OA=x+4，
∴
| (x+x+4)×4 |
| 2 |
解得：x=2．
∴BC=2，
∴OA=6．
∵OC=4，
∴C（0，4），
∴B（2，4）；
（2）如图2，0＜t＜2时，
OP=2t，AQ=
| 2 |
∵QH⊥OA，
∴QH=AH=t．
∴PH=6-3t，
∴S=
| (6-3t)(t) |
| 2 |
| 6t-3t2 |
| 2 |
如图3，当2＜t≤3时，
OP=2t，AQ=
| 2 |
∴QH=AH=t，PA=6-2t，
∴HP=t-（6-2t）=3t-6，
∴S=
| t(3t-6) |
| 2 |
| 3t2-6t |
| 2 |
如图4，当3＜t≤4时，
OP=2t，AQ=
| 2 |
∴QH=AH=t，PA=2t-6，
∴HP=t+2t-6=3t-6
∴S=
| t(3t-6) |
| 2 |
| 3t2-6t |
| 2 |
综上所述：
∴S=
|
（3）如图5，当0＜t＜2时，OP=OM=2t，PH=6-3t，QH=t，
∵四边形MPQN是菱形，
∴MP=QP，
4t2+4t2=t2+（6-3t）2，
解得：t1=9-3
| 7 |
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如图6，当2＜t＜4时，OP=OM=2t，PH=3t-6，QH=t，
∵四边形MPQN是菱形，
∴MP=QP，
4t2+4t2=t2+（3t-6）2，
解得：t1=9-3
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∴t=9-3
| 7 |
点评：本题是一道综合性较强的试题，考查了直角梯形的性质的运用，梯形的面积公式的运用，一元二次方程的解法的运用，分段函数的运用，菱形的性质的运用，解答本题时分类讨论是关键．
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