Question

【题目】如图①，在平面直角坐标系中，抛物线y=-x2-x-3交x轴于A、B两点(点A在点B的左侧)，交y轴于点C.

(1)求直线AC的解析式；

(2)①点P是直线AC上方抛物线上的一个动点(不与点A、点C重合)，过点P作PD⊥AC于点D，求PD的最大值；

②当线段PD的长度最大时，点Q从点P出发，先以每秒1个单位长度的速度沿适当的路径运动到y轴上的点M处，再沿MC以每秒个单位长度的速度运动到点C停止，当点Q在整个运动过程中用时最少时，求点M的坐标；

(3)如图②，将△BOC沿直线BC平移，点B平移后的对应点为点B'，点O平移后的对应点为点O'，点C平移后的对应点为点C'，点S是坐标平面内一点，若以A、C、O'、S为顶点的四边形是菱形，求出所有符合条件的点O'的坐标.

Answer 1

【答案】(1)y=-x-3；(2)①PD=；②M(0，2)；(3)满足条件的点O'的坐标为(，)或(，)或(3，-9)或(-，)或(，).

【解析】

(1)分别求出抛物线y=-x2-x-3与x轴、y轴的交点坐标，然后分别把A(-6，0)， C(0，-3)代入直线AC的解析式为y=kx+b 中，解二元一次方程组即可.

(2)①由于AC=3为定值，根据三角形的面积公式，可知当△PAC的面积最大时，PD最大时，利用三角形的面积公式求出的关系式，利用二次函数的性质求出△PAC的面积最大值为，利用S△PAC=AC×PD，即可求出PD的长.

②利用勾股定理可求出CN=，利用sin∠OCN=，可求出MK=， 从而可得点Q在整个运动过程中的时间等于PK的长，过点P作PE⊥y轴于点E，根据垂线段最短可知与y轴交点即为M，sin∠OCN=sin∠EPM=，从而求出OM=2，即得M的坐标.

(3)①如图③、图④利用菱形的四条边相等，可得AC=AO'=3，根据点O'在直线y=-3x上，设O'(m，-3m)，利用勾股定理建立等式，解出m即可.

②如图⑤、图⑥，同①可得.

③如图⑦，同①可得.

(1)解：对于抛物线y=-x2-x-3，令x=0，得到y=-3，

∴C(0，-3)，

令y=0，得到x2+7x+6=0，解得x=-6或x=-1，

∴A(-6，0)，B(-1，0)，

设直线AC的解析式为y=kx+b，则有 ，

∴直线AC的解析式为y=-x-3.

(2)解：①如图①，

设P(m，-m2-m-3)，连接PA、PC，作PK∥y轴交AC于点K，则K(m，-m-3)，

∵PD⊥AC，AC=3为定值，

∴PD最大时，△PAC的面积最大，

∵S△PAC=×(-m2-3m)×6=-(m+3)2+，

∴m=-3时，△PAC的面积最大，最大值为，此时P(-3，3)，×AC×PD=，

∴PD=.

②如图②，

在x轴上取一点N(1，0)，作直线CN，过点P作PK⊥CN于点K，交y轴于点M.

∵OC=3，ON=1，

∴CN= ，

∴sin∠OCN=，

∴MK=，

∴.点Q在整个运动过程中的时间==PM+MK=PK，

根据垂线段最短可知，点M即为所求的点，过点P作PE⊥y轴于点E，，

∴EM=1，

∴OM=2，

∴M(0，2)

(3)解：①如图③、图④，

当四边形ACSO'是菱形时，设AS交CO'于点K，AC=AO'=3，

∵点O'在直线y=-3x上，A(-6，0)，设O'(m，-3m)，

∴(m+6)2+(-3m)2=(3)2，解得m= ，

∴O'(，)或(，)；

②如图⑤、图⑥，

当四边形ACO'S是菱形时，设CS交AO'于点K，AC=CO'=3，

∵点O'在直线y=-3x上，C(0，-3)，设O'(m，-3m)，

∴m2+(-3m+3)2=(3)2，解得m=3或m=-，

∴O'(3，-9)或(-，).

③如图⑦，

当四边形ASCO'是菱形时，设AC交SO'于点K，AC=3.

∵点O'在直线y=-3x上，C(0，-3)，设O'(m，-3m)，

∴m2+(-3m+3)2=()2+(m+3)2+(-3m+)，解得m=，

∴O'(，)。

综上所述，满足条件的点O'的坐标为(，)或(，)或(3，-9)或(-，)或(，).