Question

【题目】定义：有一组对边平行，有一个内角是它对角的一半的凸四边形叫做半对角四边形，如图1，直线，点，在直线上，点，在直线上，若，则四边形是半对角四边形．

（1）如图1，已知，，，若直线，之间的距离为，则AB的长是____，CD的长是______；

（2）如图2，点是矩形的边上一点，，．若四边形为半对角四边形，求的长；

（3）如图3，以的顶点为坐标原点，边所在直线为轴，对角线所在直线为轴，建立平面直角坐标系．点是边上一点，满足．

①求证：四边形是半对角四边形；

②当，时，将四边形向右平移个单位后，恰有两个顶点落在反比例函数的图象上，求的值．

Answer 1

【答案】（1）2；；（2）AD=3；（3）①证明见解析；②的值为为或．

【解析】

（1）过点作于点，过点作于点，通过解直角三角形可求出，的长；

（2）根据半对角四边形的定义可得出，进而可得出，由等角对等边可得出，结合即可求出的长；

（3）①由平行四边形的性质可得出，，进而可得出，根据等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得出，再结合半对角四边形的定义即可证出四边形是半对角四边形；

②由平行四边形的性质结合，可得出点，，的坐标，分点，落在反比例函数图象上及点，落在反比例函数图象上两种情况考虑：利用平移的性质及反比例函数图象上点的坐标特征可得出关于的一元一次方程，解之即可得出值，再利用反比例函数图象上点的坐标特征可求出值；同可求出值．综上，此题得解．

解：（1）如图1，过点作于点，过点作于点．

，

，．

在中，；

在中，．

故答案为：2；．

（2）如图2，

四边形为半对角四边形，

，

，

，

．

（3）如图3，

①证明四边形为平行四边形，

，，

，

．

又，

四边形是半对角四边形；

②由题意，可知：点的坐标为，，点的坐标为，，点的坐标为．

当点，向右平移个单位后落在反比例函数的图象上时，，

解得：，

；

当点，向右平移个单位后落在反比例函数的图象上时，

，

解得：，

．

综上所述：的值为为或．