题目内容
已知：如图，矩形ABCD中，AB=4，BC=7，点P是AD边上一个动点，PE⊥PC，PE交AB于点E，对应点E也随之在AB上运动，连接EC．（1）若△PEC是等腰三角形，求PD的长；
（2）当∠PEC=30°时，求AP的长．
分析：（1）可证明△AEP∽△DPC，则
=
，又因为△PEC是等腰三角形，则PE=CP，AP=DC=4，从而得出PD；
（2）设PD=x，则AP=7-x，由（1）得出比例式，即可求出x，进而得出AP的长．
| PE |
| CP |
| AP |
| DC |
（2）设PD=x，则AP=7-x，由（1）得出比例式，即可求出x，进而得出AP的长．
解答：解：（1）∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A=∠D=90°，AD=BC=7，DC=AB=4．
∴∠APE+∠AEP=90°，
∵PE⊥PC，
∴∠EPC=90°，
∴∠APE+∠DPC=90°，
∴∠AEP=∠DPC，（1分）
∴△AEP∽△DPC，
∴
=
，（2分）
∵△PEC是等腰三角形，∠EPC=90°，
∴PE=CP，
∴AP=DC=4，
∴PD=AD-AP=3；（3分）
（2）设PD=x，则AP=7-x，
∵
=
，
∴
=
，（4分）
在△CPE中，∠EPC=90°，∠PEC=30°，
∴
=tan30°=
，
∴
=
，
∴
=
，
∴x=7-4
，
∴AP=4
．（5分）
∴∠A=∠D=90°，AD=BC=7，DC=AB=4．
∴∠APE+∠AEP=90°，
∵PE⊥PC，
∴∠EPC=90°，
∴∠APE+∠DPC=90°，
∴∠AEP=∠DPC，（1分）
∴△AEP∽△DPC，
∴
| PE |
| CP |
| AP |
| DC |
∵△PEC是等腰三角形，∠EPC=90°，
∴PE=CP，
∴AP=DC=4，
∴PD=AD-AP=3；（3分）
（2）设PD=x，则AP=7-x，
∵
| PE |
| CP |
| AP |
| DC |
∴
| PE |
| CP |
| 7-x |
| 4 |
在△CPE中，∠EPC=90°，∠PEC=30°，
∴
| CP |
| PE |
| ||
| 3 |
∴
| PE |
| CP |
| 3 |
∴
| 7-x |
| 4 |
| 3 |
∴x=7-4
| 3 |
∴AP=4
| 3 |
点评：本题是一道综合性的题目，考查了相似三角形的判定和性质、矩形的性质、等腰三角形的性质以及解直角三角形等有关知识的综合运用．
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