Question

如图，直线y=kx-1与抛物线y=ax²+bx+c交于点A（-3，2）、B（0，-1），抛物线的顶点为C（-1，-2），对称轴交直线AB于点D，连接OC。

（1）求k的值及抛物线的解析式；
（2）若P为抛物线上的点，且以P、A、D三点构成的三角形是以线段AD为一条直角边的直角三角形，请求出满足条件的点P的坐标；
（3）在（2）的条件下所得到三角形是否与△COD相似？请你直接写出判断结果（不必写出证明过程）。

Answer 1

解：（1）∵直线y=kx-1经过A（-3，2），          ∴2=-3k-1，即k=-1，    把A（-3，2）、B（0，-1）、C（-1，-2）代入y=ax2+bx+c，得    ，解得：|    ∴抛物线的解析式为：y=x2+2x-1。
（2）由得D（-1，0），即点D在x轴上，    且，    ∴△BDO为等腰直角三角形，    ∴∠BDO=45°， ①过点D作⊥AB，交y轴于E，交抛物线于P1、P2两点， 连结P1A、P2A，则△P1AD、△P2AD都是满足条件的直角三角形。 ∵∠EDO=90°-∠BDO=45°， ∴，∴点E（0，1）， ∴直线的解析式为y=x+1。 由，解得或， ∴满足条件的点为P1（-2，-1），P2（1，2）。 ②过点A作⊥AB，交抛物线与另一点P3，连结P3D， 则△P3AD是满足条件的直角三角形， ∵∥，且过点A（-3，2）， ∴的解析式为y=x+5， 由，解得，（舍去） ∴P3的坐标为（2，7）。 综上所述，满足条件的点为P1（-2，-1）、P2（1，2）、P3（2，7）。
（3）判断结果如下：    △P1AD∽△OCD；    △P2AD与△OCD不相似；    △P3AD与△OCD不相似。