题目内容
（1）请观察：25=52，1225=352，112225=3352，1122225=33352…写出表示一般规律的等式，并加以证明．
（2）26=52+12，53=72+22，26×53=1378，1378=372+32．任意挑选另外两个类似26、53的数，使它们能表示成两个平方数的和，把这两个数相乘，乘积仍然是两个平方数的和吗？你能说出其中的道理吗？
注：有人称这样的数“不变心的数”．数学中有许多美妙的数，通过分析，可发现其中的奥秘．
瑞士数学家欧拉曾对26（2）的性质作了更进一步的推广．他指出：可以表示为四个平方数之和的甲、乙两数相乘，其乘积仍然可以表示为四个平方数之和．即（a2+b2+c2十d2）（e2+f2+g2+h2）=A2+B2+C2+D2．这就是著名的欧拉恒等式．
解：（1）经观察，发现规律：11…1（n-1个）；22…25（n个）；（33…3 5）2（n-1个3），
∴（33…3 5）2=（33…3+2）2=（
×99…9+2）2，
=[（10n-1）+2]2=（
）2=
+
+
=
+
+
=11…1+11…1+3
=11…1 22…25（n-1个1，n个2）；
（2）一般地，设m=a2+b2，n=c2+d2，
则mn=（a2+b2）（c2+d2）=a2c2+b2d2+b2c2+a2d2=a2c2+b2d2+2abcd+b2c2-2abcd+a2d2=（ac+bd）2+（bc-ad）2
或（ac-bd）2+（bc+ad）2．
分析：（1）由题意已知25=52，1225=352，112225=3352，1122225=33352，从中发现规律11…1（n-1个）；22…25（n个）；（33…3 5）2（n-1个3），利用完全平方式的性质进行证明；
（2）由题意可设m=a2+b2，n=c2+d2，求出mn的成绩，从而发现规律．
点评：此题考查乘法公式和完全平方式的形式，要善于观察发现规律，此题难度较大．
∴（33…3 5）2=（33…3+2）2=（
×99…9+2）2，=[
（10n-1）+2]2=（）2=++=
++=11…1+11…1+3=11…1 22…25（n-1个1，n个2）；
（2）一般地，设m=a2+b2，n=c2+d2，
则mn=（a2+b2）（c2+d2）=a2c2+b2d2+b2c2+a2d2=a2c2+b2d2+2abcd+b2c2-2abcd+a2d2=（ac+bd）2+（bc-ad）2
或（ac-bd）2+（bc+ad）2．
分析：（1）由题意已知25=52，1225=352，112225=3352，1122225=33352，从中发现规律11…1（n-1个）；22…25（n个）；（33…3 5）2（n-1个3），利用完全平方式的性质进行证明；
（2）由题意可设m=a2+b2，n=c2+d2，求出mn的成绩，从而发现规律．
点评：此题考查乘法公式和完全平方式的形式，要善于观察发现规律，此题难度较大．
练习册系列答案
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