Question

【题目】如图1，抛物线y＝﹣x2﹣2x+3与x轴从左到右交于A、B两点，与y轴交于点C，顶点为D

（1）求直线AC的解析式与点D的坐标；

（2）在直线AC上方的抛物线上有一点E，作EF∥x轴，与抛物线交于点F，作EM⊥x轴于M，作FN⊥x轴于N，长度为2的线段PQ在直线AC上运动（点P在点Q右侧），当四边形EMNF的周长取最大值求四边形DPQE的周长的最小值及对应的点Q的坐标；

（3）如图2，平移抛物线，使抛物线的顶点D在直线AD上移动，点D平移后的对应点为D′，点A平移后的对应点为A′，△A′D′C是否能为直角三角形？若能，请求出对应的线段D′C的长；若不能，请说明理由.

Answer 1

【答案】（1）直线AC的解析式为：，；（2）四边形DPQE的周长的最小值是，对应的点Q的坐标为；（3）=或或3.

【解析】

(1)抛物线与x轴从左到右交于A、B两点，只要令y=0，即可求出A、B两点；与y轴交于点C，只要令x=0，即可求出点C；由点A、C的坐标可得直线AC的解析；D的坐标用顶点公式或者先求出对称轴代入解析式，即可求出；

(2)作点E关于直线AC的对称点E'(0,1)，将点E'沿AC方向平移个单位得到E″(2,3)，连接E″D交直线AC于点P，将点P向下平移个单位得到Q，则点Q为所求点即可求解，再根据个点坐标求出四边形的边长，进而计算周长；

(3)分A'D'是斜边、A'C是斜边、CD'是斜边三种情况，分别求解即可．

解：(1)∵抛物线与x轴从左到右交于A、B两点，

∴令y=0，即，解得：，则

∵抛物线与y轴交于点C，

∴

由点A、C的坐标得，直线AC的解析式为：；

∵D是抛物线的顶点，抛物线的对称轴为：，

∴；

(2)设点，

∵抛物线的对称轴为：，轴，

∴

四边形的周长，

当时，最大，此时点；

∵，；

∴；

∵且P、Q在上

∴P、Q两点横纵坐标差为2，

作点关于直线的对称点，将点沿方向平移个单位得到，

由点坐标得，直线的解析式为：；

联立直线AC、直线的解析式并解得：，故点，

将点沿着直线CA向左向下平移个单位得到点；

∵，，，；

∴，；

此时四边形的周长最小

；

(3)由待定系数法求得直线AD的解析式为：，则设抛物线向右平移m个单位，则向上平移2m个单位，

∴、，，

而点，

∴；

①当是斜边时，如图2，

分别过点、作y轴的垂线交于点N、M，则，
则，即，
解得：(舍去)或；
②当是斜边时，如图3，
过点作x轴的平行线交y轴于点N，交过点作y轴的平行线于点M，

同理可得：，则，
即，解得：；
③当是斜边时，

同理可得：，解得：，

故或1或 1

则=或或3．