Question

在平行四边形中，分别为边的中点，连接．

（1）求证：．（4分）
（2）若，则四边形是什么特殊四边形？请证明你的结论．（5分）

Answer 1

证明见解析．

试题分析：（1）根据平行四边形的对边相等的性质可以得到AD=BC，AB=CD，又点E、F是AB、CD中点，所以AE=CF，然后利用边角边即可证明两三角形全等；
（2）先证明BE与DF平行且相等，然后根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证明，连接EF，可以证明四边形AEFD是平行四边形，所以AD∥EF，又AD⊥BD，所以BD⊥EF，根据菱形的判定可以得到四边形是菱形．
试题解析：（1）在?ABCD中，AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，
∵E、F分别为边AB、CD的中点，
∴AE=CF，
在△ADE和△CBF中，
，
∴△ADE≌△CBF（SAS）；
（2）是菱形．理由如下：
由（1）可得BE=DF，
又AB∥CD，
∴BEDF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
连接EF，在?ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，

∴DFAE，
∴四边形AEFD是平行四边形，
∴EF∥AD，
∵AD⊥BD，
∴EF⊥BD，
又∵四边形BFDE是平行四边形，
∴四边形BFDE是菱形．