Question

【题目】如图，为的外接圆，为与的交点，为线段延长线上一点，且．

(1)求证：直线是的切线．

(2)若为的中点，，．

①求的半径；

②求的内心到点的距离．

Answer 1

【答案】(1)证明见解析;(2)①;②5．

【解析】

（1）连接AO，并延长AO交⊙O于点F，连接CF，由圆周角定理的推论可得∠ACF=90°，可得∠F+∠FAC=90°，由∠EAC=∠ABC，可得∠EAC+∠FAC=90°，即可完成证明；

(2)①由垂径定理可得OD⊥AB，AD=BD=8，由勾股定理可求⊙O的半径；

②作∠CAB的平分线交CD于点H，连接BH，过点H作HM⊥AC，HN⊥BC，则点H是△ABC的内心，由三角形内心的性质可得HM=HN=HD，由三角形的面积公式可求HD的值，即可完成解答．

(1)证明：如图：连接AO，并延长AO交⊙O于点F，连接CF，

∵AF是直径，

∴∠ACF=90°，

∴∠F+∠FAC=90°，

∵∠F=∠ABC，∠ABC=∠EAC，

∴∠EAC=∠F，

∴∠EAC+∠FAC=90°，

∴∠EAF=90°，

∵AO是半径，

∴直线AE是⊙O的切线；

(2)①如图，连接AO，

∵D为AB的中点，OD过圆心，

∴OD⊥AB，AD=BD=AB=8，

∵AO2=AD2+DO2，

∴AO2=82+（AO-6）2，

∴AO=，

∴⊙O的半径为；

②如图，作∠CAB的平分线交CD于点H，连接BH，过点H作HM⊥AC，HN⊥BC，

∵OD⊥AB，AD=BD，

∴AC=BC，

∴CD平分∠ACB，即点H是△ABC的内心，

∴MH=NH=DH，

在Rt△ACD中，，

∵S△ABC=S△ACH+S△ABH+S△BCH，

∴×16×6=×10×MH+×16×DH+×10×NH，

∴DH=，

∵OH=CO－CH=CO－（ CD－DH），

∴.