Question

【题目】定义：经过三角形一边中点，且平分三角形周长的直线叫做这个三角形在该边上的中分线，其中落在三角形内部的部分叫做中分线段．

（1）如图，△ABC中，AC＞AB，DE是△ABC在BC边上的中分线段，F为AC中点，过点B作DE的垂线交AC于点G，垂足为H，设AC＝b，AB＝c．

①求证：DF＝EF；

②若b＝6，c＝4，求CG的长度；

（2）若题（1）中，S△BDH＝S△EGH，求的值．

Answer 1

【答案】（1）①详见解析；②2；（2）

【解析】

（1）①由题意得出DF是△CAB的中位线，得出DF＝AB＝c，AF＝AC＝b，CE＝（b+c），AE＝（b﹣c），求出EF＝AF﹣AE＝c，即可得出结论；

②过点A作AP⊥BG于P，由中位线定理得出DF∥AB，得出∠DFC＝∠BAC，求出∠DEF＝∠EDF，∠BAP+∠PAC＝2∠DEF，由ED⊥BG，AP⊥BG，得出DE∥AP，得出∠PAC＝∠DEF，∠BAP＝∠DEF＝∠PAC，再由AP⊥BG，得出AB＝AG＝4，即可得出结果；

（2）连接BE、DG，由S△BDH＝S△EGH，得出S△BDG＝S△DEG，推出BE∥DG，再由DF∥AB，得出△ABE∽△FDG，得出，推出FG＝（b﹣c），CF＝b＝FG+CG＝（b﹣c）+（b﹣c），即可得出结果．

（1）①证明：∵F为AC中点，DE是△ABC在BC边上的中分线段，

∴DF是△CAB的中位线，

∴DF＝AB＝c，AF＝AC＝b，CE＝（b+c），

∴AE＝b﹣CE＝b﹣（b+c）＝（b﹣c），

∴EF＝AF﹣AE＝b﹣（b﹣c）＝c，

∴DF＝EF；

②解：过点A作AP⊥BG于P，如图1所示：

∵DF是△CAB的中位线，

∴DF∥AB，

∴∠DFC＝∠BAC，

∵∠DFC＝∠DEF+∠EDF，EF＝DF，

∴∠DEF＝∠EDF，

∴∠BAP+∠PAC＝2∠DEF，

∵ED⊥BG，AP⊥BG，

∴DE∥AP，

∴∠PAC＝∠DEF，

∴∠BAP＝∠DEF＝∠PAC，

∵AP⊥BG，

∴AB＝AG＝4，

∴CG＝AC﹣AG＝6﹣4＝2；

（2）解：连接BE、DG，如图2所示：

∵S△BDH＝S△EGH，

∴S△BDG＝S△DEG，

∴BE∥DG，

∵DF∥AB，

∴△ABE∽△FDG，

∴，

∴FG＝AE＝×（b﹣c）＝（b﹣c），

∵AB＝AG＝c，

∴CG＝b﹣c，

∴CF＝b＝FG+CG＝（b﹣c）+（b﹣c），

∴3b＝5c，

∴．