Question

如图，已知△ABC中，AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm．如果点P由B出发沿BA向点A匀速运动，同时点Q由A出发沿AC向点C匀速运动，它们的速度均为2cm/s．连接PQ，设运动的时间为t（单位：s）（0≤t≤4）．

（1）当t为何值时，PQ∥BC．
（2）设△AQP的面积为S（单位：cm²），当t为何值时，S取得最大值，并求出最大值．
（3）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求出此时t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）s；（2）t=s时，S取得最大值为cm²；（3）不存在

试题分析：（1）由PQ∥BC可得，即，解出即可；
（2）先根据勾股定理的逆定理证得∠C=90°，过P点作PD⊥AC于点D，则PD∥BC，，即，解得PD=6﹣t，即可得到S关于t的二次函数，根据二次函数的性质即可求得结果；
（3）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，则有S_△AQP=S_△ABC=12．由（2）可知，S_△AQP=﹣t²+6t，则有﹣t²+6t=12，根据此方程无解，即可作出判断．
（1）∵PQ∥BC
∴
即       
解得t=
∴当t=s时，PQ∥BC  
（2）∵AB=10cm，AC=8cm，BC=6cm，
∴∠C=90°  
过P点作PD⊥AC于点D．

∴PD∥BC，
∴，
即，
解得PD=6﹣t    
∴S=×AQ×PD=×2t×（6﹣t）
=﹣t²+6t=﹣（t﹣）²+，
∴当t=s时，S取得最大值，最大值为cm² 
（3）假设存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分，
则有S_△AQP=S_△ABC=12．
由（2）可知，S_△AQP=﹣t²+6t，
∴﹣t²+6t=12，
化简得：t²﹣5t+10=0，
∵△=（﹣5）²﹣4×1×10=﹣15＜0，此方程无解，
∴不存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分．
点评：此类问题综合性强，难度较大，在中考中比较常见，一般作为压轴题，题目比较典型．