Question

多项式2x⁴-3x³+ax²+7x+b能被x²+x-2整除，则=（ ）
A．-2
B．-
C．
D．0

Answer 1

【答案】分析：由于x²+x-2=（x+2）（x-1），而多项式2x⁴-3x³+ax²+7x+b能被x²+x-2整除，则2x⁴-3x³+ax²+7x+b能被（x+2）（x-1）整除．运用待定系数法，可设商是A，则2x⁴-3x³+ax²+7x+b=A（x+2）（x-1），
则x=-2和x=1时，2x⁴-3x³+ax²+7x+b=0，分别代入，得到关于a、b的二元一次方程组，
解此方程组，求出a、b的值，进而得到的值．
解答：解：∵x²+x-2=（x+2）（x-1），
∴2x⁴-3x³+ax²+7x+b能被（x+2）（x-1）整除，
设商是A．
则2x⁴-3x³+ax²+7x+b=A（x+2）（x-1），
则x=-2和x=1时，右边都等于0，所以左边也等于0．
当x=-2时，2x⁴-3x³+ax²+7x+b=32+24+4a-14+b=4a+b+42=0  ①
当x=1时，2x⁴-3x³+ax²+7x+b=2-3+a+7+b=a+b+6=0         ②
①-②，得
3a+36=0，
∴a=-12，
∴b=-6-a=6．
∴==-2．
故选A．
点评：本题主要考查了待定系数法在因式分解中的应用．在因式分解时，一些多项式经过分析，可以断定它能分解成某几个因式，但这几个因式中的某些系数尚未确定，这时可以用一些字母来表示待定的系数．由于该多项式等于这几个因式的乘积，根据多项式恒等的性质，两边对应项系数应该相等，或取多项式中原有字母的几个特殊值，列出关于待定系数的方程（或方程组），解出待定字母系数的值，这种因式分解的方法叫作待定系数法．本题关键是能够通过分析得出x=-2和x=1时，原多项式的值均为0，从而求出a、b的值．本题属于竞赛题型，有一定难度．