Question

【题目】如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴的交点为，与轴的交点分别为，，且，直线轴，在轴上有一动点过点作平行于轴的直线与抛物线、直线的交点分别为、．

求抛物线的解析式；

当时，求面积的最大值；

当时，是否存在点，使以、、为顶点的三角形与相似？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

【答案】 ；当时，面积的最大值为；或或．

【解析】

（1）由根与系数的关系可得，再由即可求得、，所以、，把代入即可求得m的值，由此可得抛物线的解析式；（2）先求得点A的坐标，再用待定系数法求得直线AC的解析式，分当时和当时两种情况求得面积与t的函数关系式，根据二次函数的性质即可求得两种情况下面积的最大值，比较即可解答；（3）分两种情况讨论：①当时，，，再由△AOB∽△AQP或△AOB∽△PQA，根据相似三角形的性质分别列出方程求解即可；②当时，，，再由△AOB∽△AQP或△AOB∽△PQA，根据相似三角形的性质分别列出方程求解即可.

由题意知、是方程的两根，

∴，

由

解得：

∴、

则，

解得：，

∴该抛物线解析式为：；

可求得

设直线的解析式为：，

∵

∴

∴直线的解析式为：，

要构成，显然，分两种情况讨论：

①当时，设直线与交点为，则：，

∵，∴，

∴

，

此时最大值为：，

②当时，设直线与交点为，则：，

∵，∴，

∴

，

当时，取最大值，最大值为：，

综上可知，当时，面积的最大值为；

如图，连接，则中，，，，

，，

①当时，，，

若：，则：，

即：，

∴（舍），或，

若，则：，

即：，

∴（舍）或（舍），

②当时，，，

若：，则：，

即：，

∴（舍），或，

若，则：，

即：，

∴（舍）或，

∴或或．