Question

已知关于x的方程mx²-3（m-1）x+2m-3=0．
（1）求证：无论m取任何实数时，方程总有实数根；
（2）若关于x的二次函数y₁=mx²-3（m-1）x+2m-3的图象关于y轴对称．求这个二次函数的解析式．

Answer 1

（1）证明：∵△=[-3（m-1）]²-4×m×（2m-3）=m²-6m+9=（m-3）²≥0，
∴无论m取任何实数时，方程总有实数根；

（2）解：∵关于x的二次函数y₁=mx²-3（m-1）x+2m-3的图象关于y轴对称，
∴对称轴：x=-==0，
∴3（m-1）=0，
解得：m=1，
∴这个二次函数的解析式为：y₁=x²-1．
分析：（1）由判别式△=[-3（m-1）]²-4×m×（2m-3）=m²-6m+9=（m-3）²≥0，即可判定无论m取任何实数时，方程总有实数根；
（2）由关于x的二次函数y₁=mx²-3（m-1）x+2m-3的图象关于y轴对称，可得对称轴：x=-==0，即可求得m的值，继而求得答案．
点评：此题考查了一元二次方程根的情况以及待定系数法求二次函数的解析式．此题难度适中，注意掌握方程思想的应用．