Question

如图所示，两块完全相同的含30°角的直角三角形叠放在一起，且∠DAB=30°．有以下四个结论：
①AF⊥BC；
②△ADG≌△ACF；
③O为BC的中点；
④AG：GE=：4
其中正确结论的序号是________．

Answer 1

①②③
分析：①根据△ADE≌△ACB就可以得出∠D=∠C，∠B=∠E，∠DAE=∠CAB=90°，AD=AC，求出∠AFC=90°就可以得出结论；
②由∠D=∠C，∠DAB=∠CAF=30°，AD=AC，就可以得出△ADG≌△ACF；
③连接AO，由△ADG≌△ACF就可以得出AG=AF，根据HL就可以得出△AGO≌△AFO，就有∠GAO=∠FAO，进而得出∠CAF=60°，就有△AOC是等边三角形，就有AC=CO，由AC=BC就可以得出OC=BC，从而得出结论；
④由∠E=30°就可以得出AE=2AG，设AG=a，则AE=2a，由勾股定理可以求出GE=a，就可以得出AG：GE=1：．
解答：①∵两块完全相同的含30°角的直角三角形叠放在一起，
∴△ADE≌△ACB，
∴∠D=∠C，∠B=∠E，∠DAE=∠CAB=90°，AD=AC．
∴∠DAE-∠BAE=∠CAB-∠BAE，
∴∠DAG=∠CAF=30°
∵∠B=∠E=30°，
∴∠D=∠C=60°．
∴∠AGD=∠AFC=90°，
∴AF⊥BC．故正确；
②在△ADG和△ACF中
，
∴△ADG≌△ACF（ASA）故正确；
③连接AO，
∵∠AGD=∠AFC=90°，
∴∠AGO=∠AFO．
∵△ADG≌△ACF，
∴AG=AF．
在Rt△AGO和Rt△AFO中
，
∴Rt△AGO≌Rt△AFO（HL），
∴∠GAO=∠FAO．
∵∠DAE=90°，∠DAB=30°，
∴∠GAF=60°，
∴∠GAO=∠FAO=30°，
∴∠OAC=60°，
∴∠AOC=60°，
∴∠OAC=∠AOC=∠C，
∴△AOC是等边三角形，
∴AC=OC．
∵∠B=30°，∠BAC=90°，
∴AC=BC，
∴OC=BC，
∴O为BC的中点．故正确；
④∵∠E=30°，
∴AE=2AG．
设AG=a，则AE=2a，由勾股定理得
GE=a，
∴AG：GE=a：a=1：．故错误．
∴正确结论是①②③．
故答案为：①②③．
点评：本题考查了直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用勾股定理的运用，解答时证明三角形全等是关键．