题目内容

已知抛物线y=ax²+bx+c（a≠0）与x轴交点的横坐标分别为-1，3，与y轴交点的纵坐标为 $数学公式$ ．
（1）求抛物线的解析式，并在如图所示的平面直角坐标系中作出其大致图象；
（2）根据图象回答：当x取何值时，y随x的增大而减小；
（3）抛物线上存在点P，使得点P到y轴距离为2，请直接写出点P的坐标．

解：（1）依题意设抛物线解析式为y=a（x+1）（x-3），
将点（0， $\text{[math]}$ ）代入，得-3a=- $\text{[math]}$ ，解得a= $\text{[math]}$ ，
故y= $\text{[math]}$ （x+1）（x-3），即y= $\text{[math]}$ x²-x- $\text{[math]}$ ；
所以，函数图象经过点（-1，0）、（3，0），（0，- $\text{[math]}$ ），以及顶点坐标（1，-2），所以其图象图下图所示：

；

（2）根据图象知，当x≤1时，y随x的增大而减小；

（3）当x=2或x=-2时，点P到轴的距离是2．
当x=2时，y= $\text{[math]}$ ×2²-2- $\text{[math]}$ =- $\text{[math]}$ ；
当x=-2时，y= $\text{[math]}$ ×（-2）²+2- $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
所以，点P的坐标是（2，- $\text{[math]}$ ），或（-2， $\text{[math]}$ ）．
分析：（1）已知抛物线与x轴的两交点的横坐标分别是-1和3，设抛物线解析式的交点式y=a（x+1）（x-3），再将点（0， $\text{[math]}$ ）代入求a即可；可根据解析式得出抛物线与x轴的交点坐标和顶点坐标；
（2）根据图象直接回答问题；
（3）当x=±2时，求抛物线线上点P的纵坐标即可．
点评：本题考查了待定系数法求二次函数解析式的一般方法，需要根据条件合理地设解析式，同时考查了解析式的变形及运用．