Question

已知：如图1：点A（5，0）B（0，2），AB=AC，∠BAC=90°．
（1）求点C的坐标．
（2）以AB为斜边作等腰直角△ABD，请直接写出点D的坐标______；
（3）如图2，若E、F分别在BC、AB上，∠AEC=75°，FE⊥BC．求证：BF=AE．

Answer 1

解：（1）作CH⊥x轴，
∴∠ADC=90°．
∴∠DAC+∠ACD=90°
∵∠BOA=90°，
∴∠ADC=∠BOA．
∵∠BAC=90°，
∴∠BAO+∠DAC=90°，
∴∠ACD=∠BAO．
在△CAD和ABO中
，
∴△CAD≌ABO（AAS），
∴AD=BO，CD=OA．
∵A（5，0）B（0，2），
∴OA=5，OB=2，
∴AD=2，CD=5，
∴OD=7．
∴C（7，5）；
（2）如图2，当点D在第一象限∠BDA=90°，BD=DA时，作DF⊥y轴于F，DM⊥x轴于M，
∴∠DFB=∠DMO=∠DMA=90°．
∵∠AOF=90°，
∴四边形FOMD是矩形．
∴∠FDM=90°．
∵∠BDA=90°，
∴∠FDM=∠BDA，
∴∠FDM-∠BDM=∠BDA-∠BDM，
∴∠FDB=∠MDA．
在△BFD和△AMD中
，
∴△BFD≌△AMD（AAS）．
∴BF=MA，DF=DM．
∴四边形OMDF是正方形，
∴OF=DM．
∴2+BF=5-MA，
∴2+BF=5-BF，
∴BF=1.5，
∴OF=OM=3.5．
∴D（3.5，3.5）；
如图2，当点D在第四象限∠BDA=90°，BD=DA时，作DF⊥y轴于F，DM⊥x轴于M，
∴∠DFB=∠DMO=∠DMA=90°．
∵∠AOF=90°，
∴四边形FOMD是矩形．
∴∠FDM=90°．
∵∠BDA=90°，
∴∠FDM=∠BDA，
∴∠FDM-∠BDM=∠BDA-∠BDM，
∴∠FDB=∠MDA．
在△BFD和△AMD中
，
∴△BFD≌△AMD（AAS）．
∴BF=MA，DF=DM．
∴四边形OMDF是正方形，
∴OF=OM．
∴2+OF=5-MO，
∴2+OF=5-OF，
∴OF=1.5，
∴OF=OM=1.5，
∴D（1.5，-1.5）
∴D（3.5，3.5）或D（1.5，-1.5）；
故答案为：（3.5，3.5），（1.5，-1.5）；

（3）作EM⊥AB，
∵FE⊥BC，
∴∠BEF=90°．
∵AB=AC，∠BAC=90°．
∴∠ABC=∠C=45°，
∴∠BFE=45°，
∴∠ABC=∠BFE，
∴BE=EF．
∵∠BEF=90，EM⊥AB，
∴BF=2EM．
∵∠AEC=75°，∠C=45°，
∴∠EAC=60°，
∴∠BAE=30°，
∴AE=2EM，
∴BF=AE．
分析：（1）作CH⊥x轴，由等腰直角三角形的性质就可以得出△CAD≌ABO，就有AD=BO，CD=OA，就可以求出OD而求出C的坐标；
（2）如图2，当点D在第一象限时，作DF⊥y轴于F，DM⊥x轴于M，证明△BFD≌△AMD就可以求出结论，如图3，当点D在第四象限时，作DF⊥y轴于F，DM⊥x轴于M，证明△BFD≌△AMD就可以求出结论．
（3）如图4，作EM⊥AB于M由等腰直角三角形的性质就可以得出BF=2EM，AE=2EM而得出结论．
点评：本题考查了坐标与图象的性质的运用，矩形的判定及性质的运用，正方形的判定及性质的运用，等腰直角三角形的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，解答时运用全等三角形的性质是关键．