Question

如图所示的二次函数y=ax²+bx+c的图象中，刘星同学观察得出了下面四条信息：①a+b+c=0；②b＞2a；③ax²+bx+c=0的两根分别为-3和1；④a-2b+c＞0．你认为其中正确的有（ ）

A．4个
B．3个
C．2个
D．1个

Answer 1

【答案】分析：由于抛物线过点（1，0），则a+b+c=0，可判断①正确；根据抛物线对称轴方程得到x=-=-1，则2a-b=0，可判断②错误；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴两交点坐标为（-3，0），（1，0），则ax²+bx+c=0的两根分别为-3和1，可判断③正确；利用b=2a，a+b+c=0得到c=-3a，则a-2b+c=a-4a-3a=-7a，而抛物线开口向上，得到a＞0，于是可对④进行判断．
解答：解：∵抛物线过点（1，0），
∴a+b+c=0，所以①正确；
∵抛物线的对称轴为直线x=-=-1，
∴2a-b=0，所以②错误；
∵点（1，0）关于直线x=-1的对称点为（-3，0），
∴抛物线与x轴两交点坐标为（-3，0），（1，0），
∴ax²+bx+c=0的两根分别为-3和1，所以③正确；
∵b=2a，a+b+c=0，
∴a+2a+c=0，即c=-3a，
∴a-2b+c=a-4a-3a=-7a，
∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∴a-2b+c=-7a＜0，所以④错误．
故选C．
点评：本题考查了二次函数的图象与系数的关系：二次函数y=ax²+bx+c（a≠0）的图象为抛物线，当a＞0，抛物线开口向上；对称轴为直线x=-；抛物线与y轴的交点坐标为（0，c）．也考查了一次函数的性质．