Question

【题目】我们定义：两个二次项系数之和为1，对称轴相同，且图象与y轴交点也相同的二次函数互为友好同轴二次函数．例如：y＝2x2+4x﹣5的友好同轴二次函数为y＝﹣x2﹣2x﹣5．

（1）请你写出y＝x2+x﹣5的友好同轴二次函数；

（2）如图，二次函数L1：y＝ax2﹣4ax+1与其友好同轴二次函数L2都与y轴交于点A，点B、C分别在L1、L2上，点B，C的横坐标均为m（0＜m＜2）它们关于L1的对称轴的对称点分别为B′，C′，连接BB′，B′C′，C′C，CB．若a＝3，且四边形BB′C′C为正方形，求m的值．

Answer 1

【答案】（1）y＝x2+2x﹣5；（2）

【解析】

（1）根据友好同轴二次函数的定义求出即可；

（2）先根据二次函数L1的解析式得出其友好同轴二次函数L2的函数解析式，代入a＝3，利用二次函数图象上点的坐标特征可得出点B、C、B′、C′的坐标，进而可得出BC、BB′的值，由正方形的性质可得BC＝BB′，即可得出关于m的一元二次方程，解之取其大于0小于2的值即得结果．

解：（1）∵，1×（）＝2，

∴函数y＝x2+x﹣5的友好同轴二次函数为y＝x2+2x﹣5．

（2）二次函数L1：y＝ax2﹣4ax+1的对称轴为直线x＝﹣＝2，其友好同轴二次函数L2：y＝（1﹣a）x2﹣4（1﹣a）x+1．

∵a＝3，

∴二次函数L1：y＝ax2﹣4ax+1＝3x2﹣12x+1，二次函数L2：y＝（1﹣a）x2﹣4（1﹣a）x+1＝﹣2x2+8x+1，

∴点B的坐标为（m，3m2﹣12m+1），点C的坐标为（m，﹣2m2+8m+1），

∴点B′的坐标为（4﹣m，3m2﹣12m+1），点C′的坐标为（4﹣m，﹣2m2+8m+1），

∴BC＝﹣2m2+8m+1﹣（3m2﹣12m+1）＝﹣5m2+20m，BB′＝4﹣m﹣m＝4﹣2m．

∵四边形BB′C′C为正方形，

∴BC＝BB′，即﹣5m2+20m＝4﹣2m，

解得：m1＝，m2＝（不合题意，舍去），

∴m的值为．