Question

如图1，已知四边形OABC中的三个顶点坐标为O(0，0)，A(0，n)，C(m，0)．动点P从点O出发依次沿线段OA，AB，BC向点C移动，设移动路程为z，△OPC的面积S随着z的变化而变化的图象如图2所示．m，n是常数， m＞1，n＞0．
（1）请你确定n的值和点B的坐标；
（2）当动点P是经过点O，C的抛物线y=ax²+bx+c的顶点，且在双曲线y=上时，求这时四边形OABC的面积．

Answer 1

解：(1) 从图中可知，当P从O向A运动时，△POC的面积S=mz，
z由0逐步增大到2，
则S由0逐步增大到m，故OA=2，n=2 . 
同理，AB=1，故点B的坐标是(1，2).
(2)解： ∵抛物线y=ax²+bx+c经过点O(0，0)，C(m ，0),∴c=0，b=-am，
∴抛物线为y=ax²-amx，顶点坐标为(，-am²).
如图1，设经过点O，C，P的抛物线为l. 当P在OA上运动时，O，P都在y轴上，这时P，O，C三点不可能同在一条抛物线上， ∴这时抛物线l不存在， 故不存在m的值.
当点P与C重合时，双曲线y=不可能经过P，故也不存在m的值.
当P在AB上运动时，即当0<x₀≤1时，y₀=2
抛物线l的顶点为P(，2)
∵P在双曲线y=上，可得 m=，
∵>2，与 x₀=≤1不合，舍去
容易求得直线BC的解析式是：，
当P在BC上运动，设P的坐标为 (x，y)，
当P是顶点时 x=，故得y==，
顶点P为(，)，
∵1< x₀=<m
∴m>2，又∵P在双曲线y=上，于是，×=，
化简后得5m-22m+22=0，
解得，，

与题意不合,舍去.④
综上所述，满足条件的只有一个值：.
这时四边形OABC的面积==