Question

【题目】已知：在中，，点为边的中点，点在上，连接并延长到点，使，点在线段上，且.

（1）如图1，连接，当时，求证：

（2）如图2，当时，则线段之间的数量关系为 ；

（3）在（2）的条件下，延长到，使，连接，若，，求证：，并求的正弦值.

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）；（3）

【解析】

（1）连接，利用等腰三角形三线合一的性质得到，，然后根据锐角三角函数求得，根据题意判定，然后利用相似三角形的性质求解；（2）由题意判定△ABC为等边三角形，然后利用含30°的直角三角形的性质得到BD=DC=AB，再根据题意利用角角定理判定△ABE∽△DBM，相似比为2，故有AE=2DM，进而确定出AE与DM的关系；（3）根据题意判定为等边三角形，从而求证，然后利用正弦值的定义列式求解即可.

解：（1）证明：如图1连接

且点为边的中点

∴，

又

，

即，

，

，

，

图1

（2）如图2，连接AD

∵AB=AC，，

∴△ABC是等边三角形，

又∵D为BC的中点，

∴AD⊥BC，∠DAC=30°，BD=DC=AB，

∵，，

∴△ABE∽△DBM，

∴

即AE=2DM；

（3）解：如图3，连接，

又

为等边三角形.

在中，，，则

的值为：

图3