题目内容

平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax²-4ax+4a+c与x轴交于点A、B，与y轴的正半轴交于点C，点A的坐标为（1，0），OB=OC．
（1）求此抛物线的解析式；
（2）若点P是线段BC上的一个动点，过点P作y轴的平行线与抛物线在x轴下方交于点Q，试问线段PQ的长度是否存在最大值？若存在，求出其最大值；若不存在，请说明理由；
（3）若此抛物线的对称轴上的点M满足∠AMC=45°，求点M的坐标．

解：（1）抛物线的对称轴为直线x=- $\text{[math]}$ =2，
∵点A（1，0），
∴点B的坐标为（3，0），
∵点C在y轴的正半轴，OB=OC，
∴点C的坐标为（0，3），
∴ $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
∴此抛物线的解析式y=x²-4x+3；

（2）设直线BC的解析式为y=kx+b（k≠0），
则 $\text{[math]}$ ，
解得 $\text{[math]}$ ，
∴直线BC的解析式为y=-x+3，
∴PQ=（-x+3）-（x²-4x+3）=-x²+3x=-（x- $\text{[math]}$ ）²+ $\text{[math]}$ ，
∵点Q在x轴下方，

∴1＜x＜3，
又∵-1＜0，
∴当x= $\text{[math]}$ 时，PQ的长度有最大值 $\text{[math]}$ ；

（3）如图，设△ABC的外接圆的圆心D，
则点D在对称性直线x=2上，也在直线BC的垂直平分线y=x上，
∴点D的坐标为（2，2），
∴外接圆的半径为 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
∵OB=OC，
∴∠ABC=45°，
∴∠AMC=45°时，点M为⊙D与对称轴的交点，
点M在点D的下方时，M₁（2，2- $\text{[math]}$ ），
点M在点D的上方时，M₂（2，2+ $\text{[math]}$ ），
综上所述，M（2，2- $\text{[math]}$ ）或（2，2+ $\text{[math]}$ ）时，抛物线的对称轴上的点M满足∠AMC=45°．
分析：（1）求出抛物线的对称轴，再根据对称性求出点B的坐标，然后求出点C的坐标，再把点A、C的坐标代入抛物线求出a、c即可得解；
（2）利用待定系数法求出直线BC的解析式，然后表示出PQ的长，再根据二次函数的最值问题解答；
（3）求出△ABC的外接圆的圆心D的坐标，再求出外接圆的半径，根据在同圆或等圆中，同弧所对的圆周角相等可得∠AMC=∠ABC=45°，再分点M在点D的下方和上方两种情况写出点M的坐标即可．
点评：本题是二次函数综合题型，主要利用了待定系数法求二次函数解析式，待定系数法求一次函数解析式，二次函数的最值问题，（1）根据函数解析式的特点确定出对称轴从而求出点B的坐标是解题的关键，（2）要注意点Q的横坐标的取值范围，（3）考虑利用同弧所对的圆周角相等，作出△ABC的外接圆并求出圆心和半径是解题的关键．