Question

平面上有四个点（没有三点共线），以这四个点为顶点作三角形，其中锐角三角形最多有（　　）个．

• A、3
• B、2
• C、1
• D、0

Answer 1

考点：三角形边角关系

专题：

分析：平面内的四个点（没有三点共线）可以组成4个三角形．假设以每三个点为顶点的三角形都是锐角三角形，记四个点为A、B、C、D，考虑点D在△ABC之内与之外这两种情况，利用与已知定理矛盾，从而假设不成立．以此推断其中锐角三角形最多有3个．

解答：解：平面内的四个点（没有三点共线）可以组成4个三角形．
假设以每三个点为顶点的三角形都是锐角三角形，记四个点为A、B、C、D，考虑点D在△ABC之内与之外这两种情况．
（1）如果点D在△ABC之内，由假设知围绕点D的三个角都是锐角，其和小于270°，这与一个周角等于360°相矛盾，根据∠ADB、∠BDC、∠ADC三个角一定小于180°，即其中两个的和一定大于180°，则三个角中最多有2个锐角，即△ABD、△ADC和△BDC中最多有2个锐角三角形，加上△ABC，则图中最多有3个锐角三角形．
（2）如果点D在△ABC之外，由假设知∠ABC、∠BCD、∠CDA、∠DAB都小于90°，这与四边形的内角和为360°相矛盾，则四个角中最多有3个锐角，则四个三角形中最多有三个锐角三角形．
综上所述，锐角三角形最多有3个．
故选A．

点评：本题考查了三角形的内角和定理，正确判断∠ADB、∠BDC、∠ADC三个角中最多有2个锐角，以及∠ABC、∠BCD、∠CDA、∠DAB四个三角形中最多有三个锐角三角形是关键．