题目内容
如图1，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点O与坐标原点重合，点A的坐标为A（4，3），点B在x轴的正半轴上．（1）求OA的长；
（2）动点P从点O出发，以每秒一个单位长度的速度在菱形OABC的边上沿O-A-B-C的顺序向点C运动，当点P与点C重合时停止运动：
①设点P的运动时间为t秒，△POC的面积为S，写出S与t的函数关系式；
②已知Q是∠AOB的角平分线上的动点，当点P在线段OA上时，求PQ+AQ的最小值．
考点：菱形的性质,坐标与图形性质,轴对称-最短路线问题
专题：
分析：（1）利用勾股定理列式计算即可得解；
（2）求出菱形的高，①分0＜t≤5时，点P在OA上，5＜t≤10时，点P在AB上，10＜t≤15时，点P在BC上，利用三角形的面积公式列式整理即可得解；
②根据轴对称的性质找出点A关于∠AOB的角平分线的对称点A′，再根据垂线段最短可知A′P⊥AB时，PQ+AQ的值最小，利用∠AOB的正弦值列式计算即可得解．
（2）求出菱形的高，①分0＜t≤5时，点P在OA上，5＜t≤10时，点P在AB上，10＜t≤15时，点P在BC上，利用三角形的面积公式列式整理即可得解；
②根据轴对称的性质找出点A关于∠AOB的角平分线的对称点A′，再根据垂线段最短可知A′P⊥AB时，PQ+AQ的值最小，利用∠AOB的正弦值列式计算即可得解．
解答：
解：（1）∵A（4，3），
∴OA=
=5；
（2）设菱形的高为h，则S菱形=4×
×4×3=5h，
解得h=
，
①0＜t≤5时，点P在OA上，S=
t•
=
t，
5＜t≤10时，点P在AB上，S=
×5×
=12，
10＜t≤15时，点P在BC上，S=
（15-t）•
=-
t+36；
②如图，A关于∠AOB的角平分线的对称点A′，
则OA′=OA=5，
由垂线段最短可知A′P⊥AB时，PQ+AQ的值最小，
此时PQ+AQ的值最小值=5×
=3．
解：（1）∵A（4，3），∴OA=
| 32+42 |
（2）设菱形的高为h，则S菱形=4×
| 1 |
| 2 |
解得h=
| 24 |
| 5 |
①0＜t≤5时，点P在OA上，S=
| 1 |
| 2 |
| 24 |
| 5 |
| 12 |
| 5 |
5＜t≤10时，点P在AB上，S=
| 1 |
| 2 |
| 24 |
| 5 |
10＜t≤15时，点P在BC上，S=
| 1 |
| 2 |
| 24 |
| 5 |
| 12 |
| 5 |
②如图，A关于∠AOB的角平分线的对称点A′，
则OA′=OA=5，
由垂线段最短可知A′P⊥AB时，PQ+AQ的值最小，
此时PQ+AQ的值最小值=5×
| 3 |
| 5 |
点评：本题考查了菱形的性质，坐标与图形性质，轴对称确定最短路线问题，难点在于（2）①要根据点P的位置分情况讨论，②确定出点A的对称点A′的位置是解题的关键．
练习册系列答案
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平面上有四个点（没有三点共线），以这四个点为顶点作三角形，其中锐角三角形最多有（ ）个．
| A、3 | B、2 | C、1 | D、0 |
下列各式，运算结果为负数的是（ ）
| A、-（-2）-（-3） |
| B、（-2）×（-3） |
| C、-32 |
| D、（-3）2 |
如图，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点C．若AB是⊙O的直径，D是BC的中点．
如图，顺次连结A、B、C、D、E、F，若∠F=∠A+∠B．求证：∠E=∠D+∠C．