题目内容

如图1，在平面直角坐标系xOy中，菱形OABC的顶点O与坐标原点重合，点A的坐标为A（4，3），点B在x轴的正半轴上．
（1）求OA的长；
（2）动点P从点O出发，以每秒一个单位长度的速度在菱形OABC的边上沿O-A-B-C的顺序向点C运动，当点P与点C重合时停止运动：
①设点P的运动时间为t秒，△POC的面积为S，写出S与t的函数关系式；
②已知Q是∠AOB的角平分线上的动点，当点P在线段OA上时，求PQ+AQ的最小值．
考点：菱形的性质,坐标与图形性质,轴对称-最短路线问题
专题：
分析：（1）利用勾股定理列式计算即可得解；
（2）求出菱形的高，①分0＜t≤5时，点P在OA上，5＜t≤10时，点P在AB上，10＜t≤15时，点P在BC上，利用三角形的面积公式列式整理即可得解；
②根据轴对称的性质找出点A关于∠AOB的角平分线的对称点A′，再根据垂线段最短可知A′P⊥AB时，PQ+AQ的值最小，利用∠AOB的正弦值列式计算即可得解．
解答：解：（1）∵A（4，3），
∴OA=
32+42
=5；

（2）设菱形的高为h，则S菱形=4×
1
2
×4×3=5h，
解得h=
24
5
，
①0＜t≤5时，点P在OA上，S=
1
2
t•
24
5
=
12
5
t，
5＜t≤10时，点P在AB上，S=
1
2
×5×
24
5
=12，
10＜t≤15时，点P在BC上，S=
1
2
（15-t）•
24
5
=-
12
5
t+36；
②如图，A关于∠AOB的角平分线的对称点A′，
则OA′=OA=5，
由垂线段最短可知A′P⊥AB时，PQ+AQ的值最小，
此时PQ+AQ的值最小值=5×
3
5
=3．
点评：本题考查了菱形的性质，坐标与图形性质，轴对称确定最短路线问题，难点在于（2）①要根据点P的位置分情况讨论，②确定出点A的对称点A′的位置是解题的关键．
练习册系列答案
相关题目
平面上有四个点（没有三点共线），以这四个点为顶点作三角形，其中锐角三角形最多有（　　）个．
A、3B、2C、1D、0
下列各式，运算结果为负数的是（　　）
A、-（-2）-（-3）
B、（-2）×（-3）
C、-32
D、（-3）2
解关于x的方程：mx-2=3m+5x．
某数学学习小组对新浪、搜狐与麦可思网站中统计倒的2010～2012年最受关注的十个专业--金融学、税务、英语、车辆工程、电气工程及其自动化、土木工程、临床医学、工商管理、会计学与物流管理的就业率统计图整理如下：

（1）完成下表：
平均数（%）中位数（%）众数（%）
2010年就业率8180
 
2011年就业率87
 
90
2012年就业率
 
87.590和85
（2）小亮高考后查看专业和就业率统计图后，选报了车辆工程、电气工程及其自动化、土木工程三个专业，请你结合（1）中的表格数据说明小亮选报的理由．（不考虑其他因素，如分数、个人兴趣等）
“猜拳”是民间饭桌上广为流传的一种两人游戏，游戏的规则是：每人用一只手一次各出0到5共六个数字中的一个数字，握拳表示0，出一个手指表示1，出两个手指表示2，以此类推，出五个手指表示5，出拳的同时每人嘴里各说一个数字．两人出拳的数字之和被哪个人猜中，这个人就获胜，输者被罚（如果两个人同时猜中或同时不猜中，则重做一次游戏）．
（1）“猜拳”过程中有多少种结果？请列举出所有可能．
（2）如果你和别人“猜拳”，为了获胜，你应该尽可能多地猜哪个数字？猜该数字获胜的概率是多少？
观察：
2-
2
5
=
8
5
=
4×2
5
=2
2
5
，
即
2-
2
5
=2
2
5
；
3-
3
10
=
27
10
=
9×3
10
=3
3
10
；
即
3-
3
10
=3
3
10
；猜想：并通过计算验证
5-
5
26
等于什么，并证明你的猜想．
如图，点A、B、D、E在⊙O上，弦AE、BD的延长线相交于点C．若AB是⊙O的直径，D是BC的中点．
（1）试判断AB、AC之间的大小关系，并给出证明；
（2）在上述题设条件下，当△ABC为正三角形时，点E是否AC的中点？为什么？
如图，顺次连结A、B、C、D、E、F，若∠F=∠A+∠B．求证：∠E=∠D+∠C．

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