Question

【题目】设二次函数(为正常数)的图象与轴交于A、B两点（A在B的左侧），与轴交于C点．直线过M(0，m)（且）且与x轴平行，并与直线AC、BC分别相交于点D、E．二次函数的图象关于直线的对称图象与y轴交于点P．设直线PD与轴交点为Q ，则：

⑴ 求A、C两点的坐标；

⑵ 求的值（用含m的代数式表示）；

⑶ 是否存在实数m，使？若能，则求出相应的m的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

【答案】⑴ 点C的坐标为（0，2）．点A坐标为（-1，0）．

⑵ AD=．

⑶当>1时，才存在实数m使得∽，从而有，此时；当0<1时，不存在实数m使得．

【解析】试题分析：（1）令y=0，可得A点的坐标，令x=0，可得C点的坐标；（2）根据A、C两个点的坐标求出直线AC的解析式，再求出点D的坐标，然后求出对应线段的长度，最后利用勾股定理即可求出AD；（3）要使CD·AQ=PQ·DE，因为∠PQA=∠PDE=∠CDE，所以只须△PQA∽△CDE，即须△PQA∽△PDE，分0 <m<1，1<m<2两个情况讨论求解即可．

试题解析：

⑴ 令y=0，可得：0=-（x+1）（x－a），

解得x1=-1，x2=a，

∵A在B的左侧，a＞0，

∴A（-1,0），

令x=0，可得：y=-×（-a）=2，

∴C（0，2）．

故点C的坐标为（0，2），点A坐标为（-1，0）．

（2）

作DF⊥AB于点F，

∵A（-1，0），C（0，2），

∴直线AC解析式为：y=2x+2，

令y=m，m=2x+2，x=－1，

∴D（－1，m），

∴FO=1－，

∴AF=，

∵DF=m，

∴AD=m．

⑶连接AP、PE，

要使CD·AQ=PQ·DE，∵∠PQA=∠PDE=∠CDE，

∴只须△PQA∽△CDE，即须△PQA∽△PDE．

当0 <m<1时，点P在x轴下方，此时∠PQA显然为钝角，

而∠PDE显然为锐角，故此时不能有△PQA∽△CDE．

当1<m<2时，△PQA∽△PDE时，A、P、E三点共线，

∴△APO∽△EPM，

∴=,

∵B（a，0），C（0,2），

∴直线BC解析式为：y=-x+2，

令=，=-+2，=a－，

∴E（a－，m），

∴ME= a－,

∵CO=2，MO=m，

∴PM=CM=2－m，

∴PO=2m－2，

∴=，

∴ ，而此时1<m<2，

∴，

∴a>1．

综上所述，当a>1时，才存在实数m使得△PQA∽△CDE，从而有CD·AQ=PQ·DE，此时；当0<a≤1时，不存在实数使得CD·AQ=PQ·DE．