Question

如图，▱ABCD中，BD⊥AD，∠A=45°，E、F分别是AB，CD上的点，且BE=DF，连接EF交BD于O．

（1）求证：BO=DO；

（2）若EF⊥AB，延长EF交AD的延长线于G，当FG=1时，求AD的长．

 

Answer 1

（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴DC=AB，DC∥AB，

∴∠ODF=∠OBE，

在△ODF与△OBE中

∴△ODF≌△OBE（AAS）

∴BO=DO；

（2）解：∵BD⊥AD，

∴∠ADB=90°，

∵∠A=45°，

∴∠DBA=∠A=45°，

∵EF⊥AB，

∴∠G=∠A=45°，

∴△ODG是等腰直角三角形，

∵AB∥CD，EF⊥AB，

∴DF⊥OG，

∴OF=FG，△DFG是等腰直角三角形，

∵△ODF≌△OBE（AAS）

∴OE=OF，

∴GF=OF=OE，

即2FG=EF，

∵△DFG是等腰直角三角形，

∴DF=FG=1，∴DG==DO，

∴在等腰RT△ADB 中，DB=2DO=2=AD

∴AD=2，