Question

如图，在以O为圆心、半径为2的⊙O中，BC和BA是⊙O的弦，其中BC=2，∠ABC=45°．
（1）当∠CBD等于多少度时，直线BD与⊙O相切？
（2）求弦AB的长．

Answer 1

解：（1）连接OB，OC，
∵OB=OC=BC=2，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠OBC=60°，
∴当∠CBD=30°时，∠OBD=∠OBC+∠CBD=90°，即OB⊥BD，则直线BD与⊙O相切；
∴当∠CBD等于30°时，直线BD与⊙O相切；

（2）过点C作CE⊥AB于E，
∵∠ABC=45°，BC=2，
∴BE=CE=BC•sin45°=，
由（1）可得∠A=∠BOC=30°，
∴AE===，
∴AB=AE+BE=+．
分析：（1）连接OB，OC，易得△OBC是等边三角形，则可得当∠CBD等于30°时，直线BD与⊙O相切；
（2）过点C作CE⊥AB于E，由BC=2，∠ABC=45°，由解直角三角形的知识，即可求得BE与AE的长，继而求得答案．
点评：此题考查了切线的性质、等边三角形的判定与性质、圆周角定理以及解直角三角形的知识．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用．