Question

（2012•南湖区二模）已知直线y=-x+4分别交x轴、y轴于点A、C，过A、C两点的抛物线y=ax²-2ax+c交x轴于另一点B．
（1）求该抛物线的解析式；
（2）若动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度沿线段BA方向运动，同时动直线l从x轴出发，以每秒1个单位长度沿y轴方向平行移动，直线l交AC与D，交BC于E，当点Q运动到点A时，两者都停止运动．设运动时间为t秒，△QED的面积为S．
①求S与t的函数关系式：并探究：当t为何值时，S有最大值为多少？
②在点Q及直线l的运动过程中，是否存在△QED为直角三角形？若存在，请求t的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据直线解析式求出点A、C，然后利用待定系数法求二次函数解析式解答即可；
（2）①令y=0，解关于x的一元二次方程求出点B的坐标，再求出AB的长，然后根据相似三角形对应高的比等于相似比求出DE，再根据三角形的面积公式列式整理即可得解，最后根据二次函数的最值问题解答；
②分（i）∠QED=90°时，根据△BQE和△BOC相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解；（ii）∠EDQ=90°时，利用△ADQ和△ACO相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可；（iii）∠DQE=90°时，过点D作DF⊥AB于F，过点E作EG⊥AB于G，表示出BG、EG、GQ，AF、DF、QF，然后根据△EGQ和△QDF相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可．

解答：解：（1）令y=0，则-x+4=0，
解得x=4，
令x=0，则y=4，
∴点A（4，0），C（0，4），
∵抛物线y=ax²-2ax+c经过点A、C，
∴

16a-8a+c=0 c=4

，
解得

a=- 1 2 c=4

，
∴抛物线y=-

1

2

x²+x+4；

（2）①令y=0，则-

1

2

x²+x+4=0，
整理得，x²-2x-8=0，
解得x₁=-2，x₂=4，
∴点B（-2，0），
∴AB=4-（-2）=6，
∵直线l∥x轴，
∴△ABC∽△DEC，
∴

DE

AB

=

4-t

4

，
即

DE

6

=

4-t

4

，
解得DE=

3

2

（4-t），
∴△QED的面积为S=

1

2

×

3

2

（4-t）×t=-

3

4

t²+3t，
S与t的函数关系式为S=-

3

4

t²+3t，
∵S=-

3

4

（t-2）²+3，
∴t=2时，S有最大值，最大值为3；

②（i）∠QED=90°时，∵DE∥x轴，
∴EQ⊥AB，
∴△BQE∽△BOC，
∴

EQ

OC

=

BQ

OB

，
即

t

4

=

2t

2

，
所以，此种情况不成立；
（ii）∠EDQ=90°时，∵DE∥x轴，
∴DQ⊥AB，
∴△ADQ∽△ACO，
∴

AQ

OA

=

DQ

CO

，
即

6-2t

4

=

t

4

，
解得t=3；
（iii）∠DQE=90°时，过点D作DF⊥AB于F，过点E作EG⊥AB于G，
则△BGE∽△BOC，
∴

BG

OB

=

EG

OC

，
∴BG=

OB•EG

OC

=

2•t

4

=

1

2

t，
GQ=2t-

1

2

t=

3t

2

，
同理可求AF=t，DF=t，
QF=AB-BQ-AF=6-2t-t=6-3t，
易求△EGQ∽△QDF，
∴

EG

QF

=

GQ

DF

，
即

t

6-3t

=

3t 2

t

，
解得t=

18

11

，
综上所述，t=

18

11

或3秒时，△QED为直角三角形．

点评：本题是二次函数综合题型，主要考查了待定系数法求二次函数解析式，相似三角形的判定与性质，三角形的面积，二次函数的最值问题，难点在于（2）②要分情况讨论．