Question

已知：如图，平行四边形ABCD中，E，F点分别在BC、AD边上，BE=DF．
（1）求证：AE=CF；
（2）若∠BCD=2∠B，求∠B的度数；
（3）在（2）的条件下，过点A作AG⊥BC于点G，若AB=2，AD=5，求平行四边形ABCD的面积．

Answer 1

分析：（1）要证AE=CF，可以通过证明四边形AECF是平行四边形，利用平行四边形的性质对边相等证得．要证四边形AECF是平行四边形，根据平行四边形ABCD中，BE=DF结合一组对边平行且相等的四边形是平行四边形证得．
（2）根据平行四边形ABCD中，∠BCD+∠B=180°，且∠BCD=2∠B，组成方程组求解即可．
（3）利用勾股定理求平行四边形的高，再根据平行四边形ABCD的面积=底×高，直接进行计算．

解答：（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC．
∵BE=DF，
∴AF=CE，
∴四边形AECF是平行四边形．
∴AE=CF．

（2）解：由题意，得∠BCD+∠B=180°，且∠BCD=2∠B，
解得∠B=60°．

（3）解：如图．
∵AG⊥BC，且∠B=60°，
∴∠BAG=30°．
∴BG=

1

2

AB=1．
∴AG=

AB2-BG2

=

3

．
∴平行四边形ABCD的面积=BC•AG=AD•AG=5

3

．

点评：本题主要考查了平行四边形的基本性质，并利用性质解题，熟记平行四边形的性质是解决此类问题的关键．平行四边形的面积等于平行四边形的边长与该边上的高的积．