题目内容
如图，在平面直角坐标系xOy中，半径为1的圆的圆心O在坐标原点，且与两坐标轴分别交于A、B、C、D四点，抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点D，与直线y=x交于点M、N，且MA、NC分别与圆O相切于点A和点C。
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴交x轴于点E，连接DE，并延长DE交圆O于F，求EF的长；
（3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由。
（1）求抛物线的解析式；
（2）抛物线的对称轴交x轴于点E，连接DE，并延长DE交圆O于F，求EF的长；
（3）过点B作圆O的切线交DC的延长线于点P，判断点P是否在抛物线上，说明理由。
| 解：（1）∵圆心O在坐标原点，圆O的半径为1， ∴点A、B、C、D的坐标分别为  ∵抛物线与直线y=x交于点M，N，且  分别与圆O相切于点A和点C，∴  ∵点  在抛物线上，将 的坐标代入 ，得：  ，解之，得： ∴抛物线的解析式为：  ；（2）∵  ∴抛物线的对称轴为  ，∴  连结  ，∴  ∴  又  ，∴  ∴  ；（3）点P在抛物线上， 设过D，C点的直线为：  将点  的坐标代入 ，得： ，∴直线DC为：  ，过点B作圆O的切线BP与x轴平行，P点的纵坐标为  ，将  代入 ，得： ，∴P点的坐标为  ， 当  时， ，所以，P点在抛物线  上。 |
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