题目内容
几何模型：
条件：如图，A、B是直线l同旁的两个定点．
问题：在直线l上确定一点P，使PA+PB的值最小．
方法：作点A关于直线l的对称点A′，连接A′B交l于点P，则PA+PB=A′B的值最小（不必证明）．
模型应用：
（1）如图1，正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，P是AC上一动点．连接BD，由正方形对称性可知，B与D关于直线AC对称．连接ED交AC于P，则PB+PE的最小值是______；
（2）如图2，⊙O的半径为2，点A、B、C在⊙O上，OA⊥OB，∠AOC=60°，P是OB上一动点，求PA+PC的最小值；
（3）如图3，AB、CD是半径为5的⊙O的两条弦，AB=8，CD=6，MN是直径，AB⊥MN于点E，CD⊥MN于点F，P为EF上的任意一点，求PA+PC的最小值．
解：（1）由所给的例子可知，PB+PE的最小值是DE的长，∵正方形ABCD的边长为2，E为AB的中点，
∴AE=1，
在Rt△ADE中，
DE=
=
=
，则PB+PE的最小值是：
；（2）如图2
所示：作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，PA+PC的最小值即为A′C的长，∵∠AOC=60°
∴∠A′OC=120°
作OD⊥A′C于D，则∠A′OD=60°
∵OA′=OA=2
∴A′D=
∴A′C=2
；故PA+PC的最小值为2
；（3）如图3，连接OA，OB，OC，作CH垂直于AB于H．
根据垂径定理，得到BE=
AB=4，CF=CD=3，∴OE=
=
=3，OF=
=
=4，∴CH=OE+OF=3+4=7，
BH=BE+EH=BE+CF=4+3=7，
在直角△BCH中根据勾股定理得到BC=7
，则PA+PC的最小值为7
．故答案为：
．分析：（1）由所给的例子可知，PB+PE的最小值是DE的长，在Rt△ADE中，利用勾股定理即可得出DE的长；
（2）作A关于OB的对称点A′，连接A′C，交OB于P，PA+PC的最小值即为A′C的长，求出A′C的长即可．
（3）A、B两点关于MN对称，因而PA+PC=PB+PC，即当B、C、P在一条直线上时，PA+PC的最小，即BC的值就是PA+PC的最小值．
点评：本题考查的是轴对称--最短路线的问题，涉及到正方形、圆、等腰直角三角形的有关知识，熟知两点之间线段最短的知识是解答此题的关键．
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