Question

如图，在平面直角坐标系中，点O是坐标原点，四边形ABCO是菱形，点A的坐标为（-3，4），点C在x轴的正半轴上，直线AC交y轴于点M，AB边交y轴于点H．
（1）求直线AC的函数关系式；
（2）连接BM，动点P从点A出发，沿折线A-B-C方向以2个单位/秒的速度向终点C匀速运动，设△PMB的面积为S（S≠0），点P的运动时间为t秒，求S与t之间的函数关系式（要求写出自变量t的取值范围）．

Answer 1

分析：（1）已知A点的坐标，就可以求出OA的长，根据OA=OC，就可以得到C点的坐标，根据待定系数法就可以求出函数解析式．
（2）点P的位置应分P在AB和BC上，两种情况进行讨论．当P在AB上时，△PMB的底边PB可以用时间t表示出来，高是MH的长，因而面积就可以表示出来．

解答：解：（1）过点A作AE⊥x轴，垂足为E，（如图）
∵A（-3，4），
∴AE=4，OE=3，
∴OA=5，（1分）
∵四边形ABCO为菱形，
∴OC=CB=BA=OA=5，
∴C（5，0），（2分）
设直线AC的解析式为y=kx+b
则

-3k+b=4 5k+b=0

解得：

k=- 1 2 b= 5 2

∴直线AC的函数关系式为：y=-

1

2

x+

5

2

；（4分）

（2）由（1）得M（0，

5

2

），
∴OM=

5

2

，
当点P在AB边上运动时，由题意得：OH=4，
∴HM=

3

2

∴s=

1

2

BP×MH=

1

2

(5-2t)×

3

2

，
∴s=-

3

2

t+

15

4

(0≤t＜

5

2

)，（6分）
当点P在BC边上运动时，记为P₁，
∵∠OCM=∠BCM，CO=CB，CM=CM，
∴△OMC≌△BMC∴OM=BM=

5

2

，∠MOC=∠MBC=90°，
∴S=

1

2

P₁B•BM=

1

2

（2t-5）

5

2

，
∴S=

5

2

t-

25

4

(

5

2

＜t≤5)．（8分）

点评：本题主要考查了利用待定系数法求函数的解析式，及求关于三角形面积的函数问题，注意分情况讨论．