Question

19．已知如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AE平分∠BAC交BC于点E，D为AC上的点，BE=DE，
（1）求证：∠B+∠EDA=180°；
（2）求$\frac{AD+AB}{AC}$的值．

Answer 1

分析 （1）过E作AB的垂线，根据角平分线的性质得出EC=EF，再根据HL得出△ECD≌△EFB，从而得出∠EDC=∠B，再根据∠EDC+∠EDA=180°，即可得出答案；
（2）根据（1）证出的全等得出CD=FB，同理得出Rt△EAC≌Rt△EAF，从而得出CA=FA，再根据$\frac{AD+AB}{AC}$=$\frac{AC-CD+AF+FB}{AC}$，即可得出答案．

解答 解：（1）过E作AB的垂线，垂足是F，
∵AE是角平分线，∠C=90°
∴EC=EF，
又∵EB=ED，
在△ECD和△EFB中，
$\left\{\begin{array}{l}{DE=EB}\\{EC=EF}\end{array}\right.$，
∴△ECD≌△EFB （HL），
∴∠EDC=∠B，
∵∠EDC+∠EDA=180°，
∴∠B+∠EDA=180°；

（2）∵Rt△ECD≌Rt△EFB，
∴CD=FB，
同理Rt△EAC≌Rt△EAF（HL），
∴CA=FA，
∴$\frac{AD+AB}{AC}$=$\frac{AC-CD+AF+FB}{AC}$=$\frac{2AC}{AC}$=2．

点评 此题考查了全等三角形的判定与性质，用到的知识点是全等三角形的判定与性质、角平分线的性质，关键是根据题意作出辅助线，构造直角三角形．