Question

如图，P是边长为1的正方形ABCD对角线AC上一动点（P与A、C不重合），点E在射线BC上，且PE=PB.

（1）求证：① PE=PD ； ② PE⊥PD；

（2）设AP=x, △PBE的面积为y.

① 求出y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围；

② 当x取何值时，y取得最大值，并求出这个最大值.

Answer 1

（1）证法一：

① ∵ 四边形ABCD是正方形，AC为对角线，

∴ BC=DC, ∠BCP=∠DCP=45°.    

∵ PC=PC，

∴ △PBC≌△PDC （SAS）.       

∴ PB= PD， ∠PBC=∠PDC．      

又∵ PB= PE ，

∴ PE=PD．      

② （i）当点E在线段BC上(E与B、C不重合)时，

∵ PB=PE，

∴ ∠PBE=∠PEB，

∴ ∠PEB=∠PDC，

∴ ∠PEB+∠PEC=∠PDC+∠PEC=180°，

∴ ∠DPE=360°-(∠BCD+∠PDC+∠PEC)=90°，

∴ PE⊥PD．  

（ii）当点E与点C重合时，点P恰好在AC中点处，此时，PE⊥PD.

（iii）当点E在BC的延长线上时，如图.

∵ ∠PEC=∠PDC，∠1=∠2，

∴ ∠DPE=∠DCE=90°，

∴ PE⊥PD.

综合（i）（ii）（iii）, PE⊥PD

（2）① 过点P作PF⊥BC，垂足为F，则BF=FE.

∵ AP=x，AC=，

∴ PC=- x，PF=FC=.

   BF=FE=1-FC=1-()=.

∴ S_△PBE=BF?PF=().  

即    (0＜x＜).    

② .  

∵ ＜0，

∴ 当时，y_最大值.         

（1）证法二：① 过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F. 如图所示.

∵ 四边形ABCD是正方形，

∴ 四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，

△AGP和△PFC都是等腰直角三角形.

∴ GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90°.

又∵ PB=PE，

∴ BF=FE，

∴ GP=FE，

∴ △EFP≌△PGD （SAS）.        

∴ PE=PD．                     

② ∴ ∠1=∠2.

∴ ∠1+∠3=∠2+∠3=90°.

∴ ∠DPE=90°.

∴ PE⊥PD．                    

（2）①∵ AP=x，

∴ BF=PG=，PF=1-.    

∴ S_△PBE=BF?PF=(). 

即    (0＜x＜). 

② . 

∵ ＜0，

∴ 当时，y_最大值.