Question

如图，AB是⊙O的直径，CD与⊙O相切于点C，与AB的延长线交于点D，DE⊥AD且与AC的延长线交于点E．

（1）求证：DC=DE；

（2）若tan∠CAB=，AB=3，求BD的长．

Answer 1

 （1）证明：连接OC，

∵CD是⊙O的切线，

∴∠OCD=90°，

∴∠ACO+∠DCE=90°，

又∵ED⊥AD，∴∠EDA=90°，

∴∠EAD+∠E=90°，

∵OC=OA，∴∠ACO=∠EAD，

故∠DCE=∠E，

∴DC=DE，

（2）解：设BD=x，则AD=AB+BD=3+x，OD=OB+BD=1.5+x，

在Rt△EAD中，

∵tan∠CAB=，∴ED=AD=（3+x），

由（1）知，DC=（3+x），在Rt△OCD中，

OC²+CD²=DO²，

则1.5²+[（3+x）]²=（1.5+x）²，

解得：x₁=﹣3（舍去），x₂=1，

故BD=1．