Question

如图，由图1通过图形的变换可以得到图2．观察图形的变换方式，回答下列问题：
（1）请简述由图1变换为图2的过程：

以A点为旋转中心，把△DAE绕点A逆时针旋转90°

．
（2）说明图2中四边形ECFD是正方形；
（3）若AD=3，DB=4，试求图2中△ADE和△BDF面积的和S．

Answer 1

分析：（1）由于图1通过图形的变换可以得到图2，则可把△DAE绕点A逆时针旋转90°得到△DA′F；
（2）根据旋转的性质得DE=DF，∠DEC=∠DFC=90°，而∠C=90°，可判断四边形ECFD是正方形；
（3）根据旋转的性质得到∠ADA′=90°，DA=DA′=3，再利用勾股定理计算出AB=5，利用等积法求出DF的长，然后根据勾股定理可计算出A′F=

9

5

，则BF=A′B-A′F=

16

5

，然后利用三角形面积公式计算．

解答：解：（1）把△DAE绕点A逆时针旋转90°得到△DA′F，如图2；

（2）∵图1通过图形的变换可以得到图2，即把△DAE绕点A逆时针旋转90°得到△DA′F，
∴DE=DF，∠DEC=∠DFC=90°，
而∠C=90°，
∴四边形ECFD是正方形；

（3）∵把△DAE绕点A逆时针旋转90°得到△DA′F，
∵∠ADA′=90°，DA=DA′=3，
∴∠BDA′=90°，
∴A′B=

DA′2+DB2

=

32+42

=5，
∴

1

2

DF•A′B=

1

2

DA′•DB，
∴DF=

12

5

，
在Rt△DA′F中，A′F=

32-( 12 5 )2

=

9

5

，
∴S_△DA′F=

1

2

×

9

5

×

12

5

=

54

25

，
∴S_△ADE=

54

25

；
∵BF=A′B-A′F=

16

5

，
∴S_△BDF=

1

2

×

16

5

×

12

5

=

96

25

．
故答案为以A点为旋转中心，把△DAE绕点A逆时针旋转90°．

点评：本题考查了旋转的性质：旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角．也考查了正方形的判定方法以及勾股定理．